中考数学(通用版)复习专题学案运动型问题.pdf

运动型问题 【题型特征】用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类 问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运 动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与 “不变”、 “一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、 函数方程等重要的数学思想,综合性较强. 运动型试题主要类型:(1)点的运动(单点运动、双点运动);(2)线的运动(线段或直线的 运动);(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等). 【解题策略】解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图 形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变 关系或特殊关系. 解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等) 随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何 知识.三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的. 线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通 过转化成点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程, 抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结 论或者从中获得解题启示. 解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性, 充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的 不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使 得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确. 类型一 点的运动 典例1 (2015·江西)如图(1),AB是☉O的直径,点C在AB 的延长线上,AB=4,BC=2,P是☉ O上半部分的一个动点,连接OP,CP. (1)求△OPC的最大面积; (2)求∠OCP的最大度数; (3)如图(2),延长PO交☉O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:CP是☉O的切线. (1) (2) ∵ 【全解】(1) AB=4, ∴OB=2,OC=OB+BC=4. 在△OPC中,设OC边上的高为h, ∴当h最大时,S 取得最大值. △OPC 观察图形,当OP⊥OC时,h最大,如图(1)所示: (1) 此时h=半径=2,S =22=4. △OPC ∴△OPC的最大面积为4. (2)当PC与☉O相切时,∠OCP最大.如图(2)所示: (2) ∴∠OCP=30°. ∴∠OCP的最大度数为30°. (3)如图(3),连接AP,BP. (3) ∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD. ∵ = , ∴ = . ∴AP=BD. ∵CP=DB, ∴AP=CP. ∴∠A=∠C. ∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C. 在△ODB与△BPC 中, ∴△ODB≌△BPC(SAS). ∴∠D=∠BPC. ∵PD是直 , ∴∠DBP=90°. ∴∠D+∠BPD=90°. ∴∠BPC+∠BPD=90°. ∴DP⊥PC. ∵DP经过圆心, ∴PC是☉O的切线. 【技法梳理】本题是一道单质点的运动问题.考查了全等三角形的判定和性质,切线 的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键. (1)在△OPC中,底边OC长度固定, 因此只要OC边上高最大,则△OPC的