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b新课标函数中创新题举例 b新课标函数中创新题举例 b新课标函数中创新题举例 本文为自自己收藏 版权全部 仅供参照 函数中创新题举例 跟着高中新课程标准、新教材的使用，对考生创新意识和创新能力的要求逐渐提升。 “出活题，考能力”要修业生 能综合灵巧运用所学数学知识，思想方法。对新观点、新知识、新信息、新情形、新问题进行剖析，探究、创建性的 解决问题。下边就函数中这种题型举例。 例 1．对于函数 f (x) ，若存在 x0 R ，使 f ( x0 ) x0 建立，则称 x0 为 f (x) 的不动点。已知函数 f (x) ax2 (b 1) x (b 1) (a 0) 。 （ 1） 当 a 1,b 2时，求函数 f (x) 的不动点； （ 2） 若对随意实数 b，函数 f (x) 恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围； （ 3） 再（ 2）的条件下，若 y f (x)图像上 A, B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点，且 A, B 两点对于直线 y kx 1 对称，求 b 的最小值。 2a2 1 分析：（ 1） f ( x) x2 x 3 ，由于 x0 为不动点，所以有 f ( x0 ) x02 x0 3 x0 所以 x0 1或 x0 3， 所以 3和 1为 f (x) 的不动点。 （ 2）由于 f (x) 恒有两个不动点， f (x) ax2 (b 1) x (b 1) x, ax2 bx (b 1) 0 （※），由题设 b2 4a(b 1) 0 恒建立，即对随意 b R ， b2 4ab 4a 0 恒建立，所以有 (4a) 2 4(4a) 0 a2 a 0 ，所以 0 a 1。 （ 3）由（※）式，得 x1 x2 b ，由题设 k 1, 即 y x 1 A, B 的中点为 E ，则 ，设 E ( b , b 1 ) ， 因 为 xE yE ， 所 以 b b 1 ，所以有 2a 2a 2a2 1 2a 2a 2a2 1 b a 1 1 2 a 1，当且仅当 2a 1 即 a 2 时，b有 2a2 1 1 2 ＝ ，由于 0 a 2 2a 2 4 a 最小值 2 。 4 例 2．定义在 R 上的函数 f (x) 知足：假如对随意 x x 2 R都有 f ( x1 x2 ) 1 f ( x ) f ( x ) 则 1, 2 2 1 2 称函数 f (x) 是 R 上的凹函数，已知二次函数 f (x) ax2 x(a R 且 a 0) ， （ 1） 求证：当 a 0 时函数 f (x) 是凹函数； （ 2） 假如 x 0,1 时 f ( x) 1，试务实数 a 的范围。 分析：（1 ） 对 任 意 的 x1 , x2 R, a 0 ， f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( x1 x2 )＝ 2 ax12 x1 ax22 x2 2 a( x1 x2 )2 x1 x2 ax12 ax22 1 a( x12 x22 2x1 x2 ) ＝ 2 2 2 1 a( x1 x2 ) 2 0 ， f ( x1 2 x2 ) 1 f ( x1 ) f ( x2 ) 故函数 f (x) 是凹函数。 2 2 （ 2）由 f ( x) 1 1 f ( x) 1 1 ax2 x 1 ① 当 x 0时， a R，当 x (0,1] 时①即 ax2 x 1 ax2 x 恒建立 1 a 1 1 1 1 2 1 2 ( ) 1 x x x 2 4 恒建立，当 x 1， 即 (0,1] 时 1 1 1 1 2 1 x a x2 x ( x 2) 4 当 1 1时， ( 1 1) 2 1 获得最大值 2， (1 1) 2 1 获得最小值 0 x x 2 4 x 2 4 2 a 0 联合 a 0， a [ 2,0) 。 例 3 ： 对 于 在 区 间 [m, n] 上 有 意 义 的 两 个 函 数 f (x) 与 g(x) ， 如 果 对 任 意 的 x [m, n] ， 均 有 f ( x) g( x) 1，则称 f (x) 与 g(x) 在 [m, n]上是靠近的， 不然称 f (x) 与 g(x) 在 [m,n] 上是非靠近的， ( ) log ( 3 ) 与 1 ，给定区间 [a 2,a 3]。 现有两个函数 f1 x f 2 ( x) log a x a ( a 0, a 1) x a a （ 1） 若 f1 (x) 与 f2 ( x) 在给定区间 [a 2, a 3] 上都存心义，求 a 的取值范围 ; （ 2） 议论 f1 ( x) 与 f2 ( x) 在给定区间 [a 2,a 3]上是不是靠近的。 分析：（1