几何与拓扑组-第四届熊赛试题.pdf

第四届Xionger 网络数学竞赛试卷 (几何与拓扑组, 2020 年8 月15 日至8 月17 日) 考试时间：2020 年8 月15 日上午9 点至8 月17 日晚上21 点 官方微信公众号：Xionger 的数学小屋 每题暂不设分值，希望诸位尽可能多地作答。试题解答请及时发送到邮箱2609480070@, 逾期将 取消参赛资格. 要求解答字迹清楚, 排版美观, 推荐采用PDF 文档格式提交, 文件命名: 几何与拓扑组+ 昵称 （或姓名）+ 学校. 1. 是 空间, 证明: 紧致, 连通, 局部连通, 可度量化 存在连续满射 . b 站, 阳zhi 阴zhi 供题 2. (一般拓扑学) 先看一个命题: 是连续函数, 假设对任意 , 我们有 在 上恒成立 在 上恒成立 那么必定存在 使得 . 我们的任务是: (a) 先用Brouwer 定理证明该命题. (b) 再用该命题证明Brouwer 定理. 复旦大学, 大嘤鹉 供题 3. 设 是配有Levi-Civita 联络 的 维黎曼流形， 分别是局部标准切向和余切标架场， 是联络 形式. 证明：外微分的计算公式是d 并且满足 d 设 型曲率定义为 ，证明： d 其中 . 武汉大学, 泊令 供题 类别：几何与拓扑组 第 1 页 共3 页 4. 设 是配有Levi-Civita 联络 的 维光滑可定向黎曼流形， 是作用在光滑流形 上的单 参数变换群， 是 诱导的光滑切向量场.