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大学生数学竞赛研讨群:262588802
区间再现公式 微信公众号:学习资料杂货铺
设f (x), g(x) 为 [a, b](b ą a) 上的连续函数。若
f (x) = f (a + b ´ x), g(x) + g (a + b ´ x) = m(常数)
则有
ˆ b f (x)g (x)dx = m ˆ b f (x)dx
2
a a
证: 令x = a + b ´ t, 则
ˆ ˆ
b b 铺
f (x)g (x)dx = f (a + b ´ t)g (a + b ´ t)dt
a a
ˆ b 货
= f (a + b ´ x)g (a + b ´ x)dx
于是 a 杂
ˆ b f (x)g (x)dx = 1 ˆ b [f (x)g (x) + f (a + b ´ x)g (a + b ´ x)]dx
2
a a 料
由于f (a + b ´ x) = f (x), 所以
ˆ b 1 ˆ b 资 m ˆ b
f (x)g (x)dx = f (x)[g (x) + g (a + b ´ x)]dx = f (x)dx
2 2
a a 习 a
学
号:
众
公
1
大学生数学竞赛研讨群:262588802
f 应用01
计算
π
ˆ 2 dx ?2 .
0 1 + (tan x)
(第四十一届美国大学生数学竞赛试题 (A ´ 3), 1980 年 )
解:取
π 1
a = 0, b = 2 , f (x) = 1, g(x) = 1 + (tan x)?2 ,
则有 铺
?
( ) ( ) ( )
π π (tan x) 2 π
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