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个性化教学辅导教案
学生姓名
年 级
高二
学 科
数学
上课时间
2017年 月 日
教师姓名
课 题
变化率与导数
教学目标
1.掌握并理解导数的概念
2.理解导数的几何意义
教学过程
教师活动
学生活动
1.双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率为________.
2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则|PQ|=________.
3.已知椭圆C:eq \f(x2,9)+eq \f(y2,4)=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.
4.方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,D是它短轴上的一个端点,若3eq \o(DF1,\s\up7(―→))=eq \o(DA,\s\up7(―→))+2eq \o(DF2,\s\up7(―→)),则该椭圆的离心率为________.
5.已知双曲线与椭圆eq \f(x2,49)+eq \f(y2,24)=1共焦点,且以y=±eq \f(4,3)x为渐近线.
(1)求双曲线方程;
(2)求过双曲线右焦点且倾斜角为eq \f(π,3)的直线方程.
[问题1] 求函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.
[问题2] 根据导数的定义求下列函数的导数.
(1)求函数y=x2+3在x=1处的导数;
(2)求函数y=eq \f(1,x)在x=a(a≠0)处的导数.
[问题3]若一物体的运动方程为s=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(29+3?t-3?2,0≤t<3,,3t2+2,t≥3))(路程单位:m,时间单位:s).
求:(1)物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度;
(2)物体在t=1 s时的瞬时速度.
[问题4]若函数f(x)=x-eq \f(1,x),求它与x轴交点处的切线方程.
[问题5]已知抛物线y=2x2+1,问:
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°?
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0?
(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x+8y-3=0?
[问题6] 设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.
知识点一.函数的平均变化率
对于函数y=f(x),给定自变量的两个值x1,x2,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),我们把式子eq \f(f?x2?-f?x1?,x2-x1)称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.
习惯上用Δx表示x2-x1,即Δx=x2-x1,可把Δx看作是相对于x1 的一个“增量”,可用x1+Δx代替x2.类似地,Δy=f(x2)-f(x1).于是,平均变化率可表示为eq \f(Δy,Δx).
知识点二.瞬时速度的概念
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度:
设物体运动的路程与时间的关系是s=s(t),当Δt趋近于0时,函数s(t)在t0到t0+Δt之间的平均变化率eq \f(s?t0+Δt?-s?t0?,Δt)趋近于一个常数,把这个常数称为瞬时速度.
知识点三.导数的定义
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率:
eq \a\vs4\al(\o(lim,\s\do5(Δx→0)) )eq \f(Δy,Δx)=eq \a\vs4\al(\o(lim,\s\do5(Δx→0)) )eq \f(f?x0+Δx?-f?x0?,Δx),我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=eq \a\vs4\al(\o(lim,\s\do5(Δx→0)) )eq \f(Δy,Δx)=eq \a\vs4\al(\o(lim,\s\do5(Δx→0)) )eq \f(f?x0+Δx?-f?x0?,Δx).
知识点四.导数的几何意义
函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=f′(x0)=eq \a\vs4\al(\o(lim,\s\do5(Δx→0)) )eq \f(f?x0+Δx?-f?x0?,Δx).
【典例剖析】
【例1】已知函数f(x)=x+eq \f(1,x),分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快.
【例2】已知函数y=f(x)=ax2+c且f
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