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第二章 谓词逻辑
习题与解答
1. 将下列命题符号化:
(1) 所有的火车都比某些汽车快。
(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
(4) 每个人都有自己喜欢的职业。
(5) 有些职业是所有的人都喜欢的。
解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令
T(x) : x C(x) : x F(x, y) : x y
是火车, 是汽车, 比 跑得快。
x(T(x) y(C(y) F(x, y)))
“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为 。
(2) 取论域为所有物质的集合。令
M(x) : x L(x) : x D(x, y) : x y
是金属, 是液体, 可以溶解在 中。
“任何金属都可以溶解在某种液体中”可以符号化为x(M(x) y(L(y) D(x, y))) 。
(3) 论域和谓词与 (2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为
x(M(x) y(L(y) D(x, y))) 。
(4) 取论域为所有事物的集合。令
M(x) : x J(x) : x L(x, y) : x y
是人, 是职业, 喜欢 。
“每个人都有自己喜欢的职业”可以符号化为x(M(x) y(J(y) L(x, y)))
(5)论域和谓词与 (4)同。 “有些职业是所有的人都喜欢的” 以符号化为
x(J(x) y(M(y) L(y,x))) 。
* *
•
2. 取论域为正整数集,用函数 (加法), (乘法)和谓词 , 将下列命题符号化:
(1) 没有既是奇数,又是偶数的正整数。
(2) 任何两个正整数都有最小公倍数。
(3) 没有最大的素数。
(4) 并非所有的素数都不是偶数。
解 先引进一些谓词如下:
D(x, y) : x y D(x, y) v(v•yx)
能被 整除, 可表示为 。
J(x) : x是奇数,J(x) 可表示为v(v•2 x) 。
E(x) : x是偶数,E(x) 可表示为v(v•2 x) 。
P(x) : x是素数,P(x) 可表示为(x1) u(v(v•ux) u1ux) 。
x(J(x) E(x))
(1) “没有既是奇数,又是偶数的正整数”可表示为 ,
并可进一步符号化为x(v(v•2 x) v(v•2 x)) 。
(2) “任何两个正整数都有最小公倍数”可表示为
xyz(D(z,x) D(z, y) u(D(u,x) D(u, y) zuzu)) ,
并可进一步符号化为
xyz(v(v•xz) v(v•yz) u(v(v•xu) v(v•yu) zuzu))
x(P(x) y(P(y) yxyx))
(3)
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