新教材苏教版高中数学必修第一册第4章指数与对数 知识点考点重点难点归纳总结.doc

第四章 指数与对数 TOC \o 1-5 \h \z \u 4.1　指数 1 4.2　对数 6 4.2.1　对数的概念 6 4.2.2　对数的运算性质 9 4.1　指数 知识点1　基本概念 1．平方根与立方根的概念 如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个． 2．a的n次方根 (1)定义：一般地，xn＝a(n1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根，式子eq \r(n,a)叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． (2)几个规定： ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝eq \r(n,a)； ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号eq \r(n,a)表示，负的n次方根用符号－eq \r(n,a)表示，它们可以合并写成±eq \r(n,a) (a0)的形式； ③0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)． 1.eq \r(3,8)是根式吗？根式一定是无理式吗？ [提示]　eq \r(3,8)是根式，根式不一定是无理式． 知识点2　根式的性质 (1)eq \r(n,0)＝0(n∈N*，且n1)； (2)(eq \r(n,an))＝a(n为大于1的奇数)； (3)(eq \r(n,an))＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0))(n为大于1的偶数)． (4)(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n1，a使得eq \r(n,a)有意义)． 2.eq \r(n,an)＝a对任意实数a都成立吗？ [提示]　不都成立．当n为不小于3的正奇数时，a为任意实数，等式eq \r(n,an)＝a恒成立．当n为正偶数时，eq \r(n,an)＝|a|. 知识点4　有理数指数幂的运算性质 (1)asat＝as＋t； (2)(as)t＝ast； (3)(ab)t＝atbt， (其中s，t∈Q，a0，b0)． 考点 类型1　根式的性质 【例1】　求下列各式的值． (1)eq \r(3,?－2?3)；(2)eq \r(4,?－3?2)；(3)eq \r(8,?3－π?8)；(4)eq \r(a6)； (5)eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)，x∈(－3,3)． [解]　(1)eq \r(3,?－2?3)＝－2. (2)eq \r(4,?－3?2)＝eq \r(4,32)＝eq \r(3). (3)eq \r(8,?3－π?8)＝|3－π|＝π－3. (4)eq \r(a6)＝eq \r(?a3?2)＝|a3|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3，a≥0，,－a3，a0.)) (5)原式＝eq \r(?x－1?2)－eq \r(?x＋3?2)＝|x－1|－|x＋3|， 当－3x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2； 当1x3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 因此，原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3x≤1，,－4，1x3.)) 化简根式的依据是什么？应注意什么问题？ [提示]　化简的依据是根式的性质．化简时要注意是奇次还是偶次根式．另外注意eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n的区别． 类型2　根式与分数指数幂的互化 【例2】　将下列根式化成分数指数幂的形式． (1)eq \r(a\r(a))(a0)； (2)eq \f(1,\r(3,x·?\r(5,x2)?2))； (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,b))) (b0)． [解]　(1)原式＝ (2)原式＝. (3)原式＝. 1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用a＝eq \r(n,am)和a＝eq \f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用． 类型3　分数指数幂的运算 【例3】　(1)计算：0.064－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))0＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|； (2)化简：． [思路点拨]　将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算． [解]　(1)原式＝(0.43)－1＋(－2)－4＋(24)－