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第三章 不等式
TOC \o "1-5" \h \z \u 3.1 不等式的基本性质 1
3.2 基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a+b,2)(a,b≥0) 8
3.2.1 基本不等式的证明 8
3.2.2 基本不等式的应用 14
3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 19
3.3.1 从函数观点看一元二次方程 19
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式 23
第1课时 一元二次不等式及其解法 23
第2课时 一元二次不等式的应用 29
3.1 不等式的基本性质
知识点1 不等式
(1)不等式的定义
用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式,含有这些不等号的式子叫作不等式.
(2)关于a≥b和a≤b的含义
①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.
②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是a<b或a=b,等价于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确.
(3)不等式中常用符号语言
大于
小于
大于或等于
小于或等于
至多
至少
不少于
不多于
>
<
≥
≤
≤
≥
≥
≤
(4)两个实数的大小比较
①如果a-b是正数,那么a>b;即a-b>0?a>b;
②如果a-b等于0,那么a=b;即a-b=0?a=b;
③如果a-b是负数,那么a<b;即 a-b<0?a<b.
任意两个实数都能比较大小吗?
[提示] 能.利用作差法比较.
知识点2 不等式的基本性质
性质1: 若a>b,则b<a;(自反性),a>b?b<a.
性质2:若a>b,b>c,则a>c;(传递性)
性质3:若a>b,则a+c>b+c;(加法保号性)
性质4:若a>b,c>0,则ac>bc;(乘正保号性)
若a>b,c<0,则ac<bc;(乘负改号性)
性质5:若a>b,c>d,则a+c>b+d;(同向可加性)
性质6:若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;(全正可乘性)
性质7:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N*).(拓展)
不等式的基本性质是不等式变形的依据,也是解不等式的根据,同时还是证明不等式的理论基础.
(1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件.
(2)要注意每条性质是否具有可逆性.
考点
类型1 利用不等式的性质判断和解不等式
【例1】 (1)对于实数a,b,c,给出下列命题:
①若a>b,则ac2>bc2;
②若a<b<0,则a2>ab>b2;
③若a>b,则a2>b2;
④若a<b<0,则eq \f(a,b)>eq \f(b,a).
其中正确命题的序号是________.
(2)求解关于x的不等式ax+1>0(a∈R),并用不等式的性质说明理由.
(1)②④ [对于①,∵c2≥0,∴只有c≠0时才成立,①不正确;
对于②,a<b<0?a2>ab;a<b<0?ab>b2,∴②正确;
对于③,若0>a>b,则a2<b2,如-1>-2,但(-1)2<(-2)2,∴③不正确;
对于④,∵a<b<0,∴-a>-b>0,∴(-a)2>(-b)2,即a2>b2.
又∵ab>0,∴eq \f(1,ab)>0,∴a2·eq \f(1,ab)>b2·eq \f(1,ab),∴eq \f(a,b)>eq \f(b,a),④正确.
所以正确答案的序号是②④.]
(2)[解] 不等式ax+1>0(a∈R)两边同时加上-1得
ax>-1 (不等式性质3),
当a=0时,不等式为0>-1恒成立,所以x∈R,
当a>0时,不等式两边同时除以a得
x>-eq \f(1,a) (不等式性质4),
当a<0时,不等式两边同时除以a得
x<-eq \f(1,a) (不等式性质4).
综上:当a=0时,不等式的解集为R,当a>0时,不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,a),+∞)),当a<0时,不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(1,a))).
1.利用不等式判断正误的2种方法
①直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可.
②特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.
2.利用不等式的性质解不等式,要求步步有据,特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准.因为参数的范围不同,不等式的解集不同,所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的,不能求并集.
类型2 利用不等式的性质比较代数式的大小
【例2】 已知x
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