【大师特稿】高中数学好题速递400题(第301—350题,word版,含答案解析).docx

??? ? ? ?? ?? ?2 ??4115 1?6t ?1?22??9 ?2 4 ?91515151564 m ? ?476 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?4 1 15 1 ?6t ?1 ? 2 2 ? ?9 ?2 4 ?9 15 15 15 15 64 m ? ?476 好题速递 301 已知正数 x , y  满足  1 1 2 x ?y ?y ?x?4y ?x  ?1  ，则 xy  的最大值为 ． 解： xy ?xy  ? 1 1 ? x y ? ? ?? ? 2 x ?y y x ?4 y x 2 x ?y x ?4 y 解法一：令 2 x ?y ?u , x ?4 y ?v ，得 x ?  4u ?v 2v ?u , y ? 7 7 则 x y 4u ?v 2v ?u 6 1 ?v u ? 4 ? ? ? ? ? ? ? 2 x ?y x ?4 y 7u 7v 7 7 ?u v ? 7 当且仅当 u ?v ，即 x ?3 y 时取得等号。 解法二：  x y 1 ? ? 2 x ?y x ?4 y  ? y x x y  1 ?4 令  y x  ?t  ，则  1 1 1 t t 2 ? ? ? ? 2 ?t 1 2 ?t 4t ?1 4t 2 t  ?4t2?9t ?2 ?? t ? 4 4 2 ?9t ?2 4t 2 ?9t ?2 令  15 1 t ? ?m ，则 t ? 4 2  4 m ?2 15 原式  ? 1 4  ?  4 m 1 m ? ? ?4m ?2 ? ?4m ?2 ? 4 ?4m ?2 ? ?4m ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?  ?2 ? 1 225m 1 225 1 9 4 ? ? ? ? ? ? 4 64 m 2 ?476 m ?196 4 196 4 28 7 m 当且仅当  m ?  7 1 ，即 t ? 时取得等号 4 3 x?11n111013111f (x)42? ?2? ?21n? ???3 ?4???n??a ?2 ??n 2 ??a ?? 2a ?3 2 x ? 1 1 n 1 1 1 0 1 3 1 1 1 f (x) 4 2 ? ? 2 ? ? 2 1 n ? ? ? ? 3 ?4? ?? n ? ? a ? 2 ?? n 2 ?? a ?? 2a ?3 2 ? 3 ? ? ?4 ， ??? ，且公比为 ， 好题速递 302 设 函 数 f  0  ?  x  ?  ?(   ) f ,  ? 1  x  ?  ? f  ?x 0  ?  ? f , 2 n  x  ?  ? f  ?x? n ? 1  ?  n ( n )? n, ?N 1 ，, 则 方 程 2 f ?x???1? n n ?2  有  个实数根． 解：令 g ( n) ?( ) n ?2 n  ，问题化为观察  f ( x ) n  与 g ( n)  图像的交点 y  图 1：n=1 时 有几个．由于 f ( x ) 是偶函数，故 f ( x) 是偶函数，只要考虑 0 n x ?0 时的交点个数． n=1 时， f ( x) 的图像是把 f ( x) 的图像下移 ， 2  g (1) ? f (x) 1 O 1 x  1 3 再把 x 轴下的图像往上翻而得， f ( x) ? 1 max   ，有 1 个零点，  y  图 2：n=2 时 以零点为界， f ( x) 呈“减增”状态，最后趋于 ， 2 如图 1，有 2 个交点；  2 g (2) ? O 1 x  1 16 n=2 时，  f ( x) 2  的图像是把  f ( x ) 1 ?1 ? 的图像下移 ， ?2 ? 再把 x 轴下的图像往上翻而得， f ( x ) 2  max  ? 1 22  ，有 2 个零点， 以 2 个零点为界，  f ( x) 2 ?1 ? 呈“减增减增”状态，最后趋于 ， ?2 ? 如图 2，有 2 个交点；?? n= n≥2时， f ( x) n  max 1 ?( ) n ?( ) n ?g( n) ，且有 2 2 n ?2  n ?1  个零点 以 2  n ?1  个零点为界，  f ( x ) n ?1 ? 呈“减增减增?减增”状态，最后趋于 ，故 ?2 ?  f ( x ) n  的每 1 个零点都对应产生 2 个两函数图像的交点，∴有 2 ?2 n ?1 ?2 n 个交点，再由对称性知 x<0 时，也有 2n 个交点，故共有 2 n ?