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习题 1.1
1.(1) 利用最大公约数的表达式证明：
若(a,m)= (b,m)= 1 ，则有(ab,m)= 1 ;
证明：(1) 由(a,m)= (b,m)= 1 可知， $x,y,u, vŒZ ，使得
ax+ my = 1 ， bu+ mv= 1 ，
于是 (ax)(bu)= (1- my)(1- mv) ，
从而 ab(xu)+ m(y + v- myv)= 1 ，
由 xu, y + v- myv ŒZ可知，(ab,m)= 1 。
若(m,a)= 1 ，则(m,ab)= (m,b) 。
证明：由(m,a)= 1 可知，存在整数 x , y 使得 mx + ay = 1 ，从而
0 0 0 0
(m,b)= min{mx+ by |x,y ΠZ}
= min{(mx+ by)(mx + ay )|x,y ΠZ}
0 0
= min{m(mx x+ ay x+ bx y)+ aby y)|x,y ΠZ}
0 0 0 0
¢ ¢ ¢ ¢
= min{mx + aby )|x ,y ΠZ}
= (m,ab)
(m,a)= 1 m| ab m| b
若 ， ，则 。
(m,a)= 1 x, y
证明：由 可知，存在整数 使得
mx+ ay = 1 ，
从而
mbx+ aby = b
由 m| ab即知
m| b。
a b
若(a,b) = d，则( , )= 1 。
d d
x, y
证明：由(a,b) = d可知，存在整数 使得
ax+ by = d， a b a b
( , )= min{ x+ y |x,y ŒZ }
从而 d d d d
1
a b = min{ax+ by|x,y ŒZ }
x+ y = 1 d
d
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