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习题 5.1
1. 在整数集Z o a, bŒZ ao b= a+ b- 2
中定义运算 “ ” 如下： ， ，
试证 关于运算 “ ”构成群。
Z o
证明：易知所给运算 “ ”满足封闭性。由 a,b, cŒZ ，
o
(aob)o c= (a+ b- 2)+ c- 2= a+ (b+ c- 2)- 2= ao (bo c) ，
知 “ ”满足结合性。
o
由 aŒZ，
ao 2= a+ 2- 2= a= 2+ a- 2= 2 o a，
知 2 为单位元。
由 aŒZ，
ao (4- a)= a+ (4- a)- 2= 2= (4- a)+ a- 2= (4- a) o a，
知 为 的逆元。
4 - a a
Z o
故 关于运算“ ”构成群。
G= {e,a} o
3. 在集合 中定义一个运算 “ ” ，其乘法表如下：
o e a
G o e e a
求证： 关于此运算 “ ”构成群。
a a e
o
证明：由乘法表首先可知运算 “ ”是封闭的。
其次，由
， ，
eo e= e eo a= a= ao e
知e是单位元。
再者，由
， ，
eo e= e ao a = e
知 中每一元素关于运算“ ”均有逆元。
G= {e,a} o
最后， x, y ŒG，由乘法表
(eo x)o y = xo y = eo (xo y) ，
(xo e)o y = xo y = xo (eo y) ，
(xo y)o e= xo y = xo (y o e) ，
(ao a)o a= a= ao (ao a) ，
G= {e,a} o
从而 中运算 “ ”满足结合律。
G o
故 关于运算 “ ”构成群。
5. 设 为群，求证： ，有
G a, bŒG
(1) - 1 - 1 。 (2) - 1
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