博弈论习题及解答.docx

※ 第一章 绪论 §1.2 什么是博弈论 ?博弈有哪些基本表示方法 ?各种表示法的基本要素是什么 ?（见教材） 分别用规范式和扩展式表示下面的博弈。 两个相互竞争的企业考虑同 时推出一种相似的产品。 如果两家企业都推出这种产品， 那么他们每家将获得利润 400 万元；如果只有一家企业推出新产品，那么它将获得利润 700 万元, 没有推出新产品的企业亏损 600 万元；如果两家企业都不推出该产品， 则每家企业获得 200 万元的利润。 企业 A 企业 B 推出 不推出推出 (400,400) (700,-600) 不推出 (-600,700) (-500,-500) 什么是特征函数 ? （见教材） 产生“囚犯困境”的原因是什么？你能否举出现实经济活动中囚徒困境的例子？ 原因：个体理性与集体理性的矛盾。 例子：厂商之间的价格战，广告竞争等。 ※第二章 完全信息的静态博弈和纳什均衡 什么是纳什均衡 ? （见教材） 剔除以下规范式博弈中的严格劣策略，再求出纯策略纳什均衡。 先剔除甲的严格劣策略 3, 再剔除乙的严格劣策略 2, 得如下矩阵博弈。然后用划线法求出该矩阵博弈的纯策略 Nash 均衡。 乙 甲 1 3 1 2,0 4,2 2 3,4 2,3 求出下面博弈的纳什均衡。 乙 L R U 5,0 0,8 甲 D 2,6 4,5 由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略 Nash 均衡。由表达式 (2.3.13)~(2.3.16) 可得如下不等式组Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1 将这些数据代入 (2.3.19) 和(2.3.22), 可得混合策略 Nash 均衡(( ),( )) 用图解法求矩阵博弈的解。 解：设局中人 1 采用混合策略 (x,1-x), 其中 x∈[0,1], 于是有 : , 其中 F(x)=min{x+3(1-x),-x+5(1-x),3x-3(1-x)} 令 z=x+3(1-x),z=-x+5(1-x),z=3x-3(1-x) 作出三条直线，如下图，图中粗的折线，就是 F(x) 的图象 由图可知，纳什均衡点与 β1 无关，所以原问题化为新的 2*2 矩阵博弈： 由公式计算得： 。 所以该博弈的纳什均衡点为（（ 2/3 ，1/3 ），（ 0，1/2 ，1/2 ）），博弈的值为1。 用线性规划法求矩阵博弈的解。 将矩阵中的所有元素都加 4, 得 将数据代入 (2.4.34) 和(2.4.35) 可得局中人 1 的混合策略 ,(0.45,0.24,0.31), 将数据代入 (2.4.36) 和(2.4.37) 可得局中人 2 的混合策略 ,((0.31,0.24,0.45)) 某产品市场上有两个厂商，各自都可以选择高质量，还是低质量。相应的利润由如下得益矩阵给出： 该博弈是否存在纳什均衡？如果存在的话，哪些结果是纳什均衡 ? 由划线法可知， 该矩阵博弈有两个纯策略 Nash均衡，即( 低质量, 高质量) ，( 高质量, 低质量) 。 乙企业 高质量 低质量 甲企业 高质量 50,50 100,800 低质量 900,600 -20,-30 该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡 Q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,R= -1380,r= -630 ，可得 ?? 因此该问题的混合纳什均衡为 。 如果各企业的经营者都是保守的，井都采用最大最小化策略，结果如何 ? 高质量低质量高质量 高质量 低质量 高质量 50,50 100,800 低质量 900,600 -20,-30 甲企业 ?( 高质量, 高质量 ),( 低质量, 低质量) 。 甲、乙两人就如何分 100 元钱进行讨价还价。假设确定了以下规则：双方同时提出自己要求的数额 s1 和 s2，0≤s1，s2≤100。如果 s1+s2≤100，则两人各自得到自己所提出的数额；如果 s1+s2100，双方均获得 0 元。试求出该博弈的纳什均衡。 该博弈的纳什均衡为下图的线段 AB：即： s1+s2=100,s1,s2 ∈[0,100] 。 假设古诺寡头垄断模型中有 n 个企业，令 qi 表示企业 i 的 产 量 ， 且 Q=q1+ +qn 表示市场总产量， p 表示市场出清价格，并假设逆需求函数由p(Q)=a-Q 给出（设 Qa，其它情况下 p=0）。并设企业 i 生产产量 qi 的总成本Ci(qi)=cqi, 这里 c 是常数，并假设 ca。企业同时就产量进行决策。求出该博弈的纳什均衡。当 n 趋于无穷大时，会发生什么情况？ 解：厂商 i 的利润为： π i=p(Q)-cqi=(a-Q-c)qi 令 ，则有： q =a-c-Q*? ????????????? （1） ( ) 组成该博弈的纯策略纳什均衡点。