随机过程_汪荣鑫_解答2,3,4.docx

PAGE PAGE 10 第二章 平稳过程 指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？ （ 1）设随机过程 X (t) e Xt ， t0，其中 X 具有在区间 (0,T ) 中的均匀分布 解：∵ 该随机过程的数学期望为 mx (t )  EX ( t ) T xt 1 e dx 0 T 1 xt T e 0 Tt 1 Tt [ e 1] Tt  const ∴ 该随机过程不是平稳过程。 （ 2）设随机过程 { X (t ), t } 在每一时刻的状态只取 0 或 1 数值， 而在不同时 刻的状态是相互独立的，且对任意固定的 t 有 P{ X ( t) 1} p P{ X (t ) 0} 1 p 其中 0 p 1 解：∵ 该随机过程的数学期望为 mX (t ) EX (t) 1 P{ X (t) 1} 0 P{ X (t) 0} p （常数） 该随机过程的自相关函数为： RX (t, t ) E[ X (t) X (t )] 1 P{ X (t) X (t ) 1} 0 P{ X (t ) X (t ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X (t ) 1} p2 结果与 t 无关 ∴ 该随机过程是平稳随机过程。 （3）设 { X n , n 1} 是独立同分布的随机序列，其中 X j 的分布列为 X j 1 -1  ，j=1,2, P 1 1 2 2 n 定义 Yn X j ，试对随机序列 { Yn , n 1} ，讨论其平稳性。 解：∵ j 1 EX j 1 P{ X j 1} ( 1)P{ X j 1} 1 1 1 1 0 2 2 ∴ EYn  n E( X j ) j 1  n EX j 1  0 （常数） 又因为随机序列 Yn 的自相关函数。 RY (n, n m)  EY(n)Y ( n m) n n m E X j X k j 1 k 1  m 为自然数 n n E X j X j j 1 k 1 m X k n 1 n 2 E X j j 1 n m X j X k j 1 k n 1 n 2 E X j j 1 n m 2E X j X k j 1 k n 1 2 nEY 2 n n m j 1 k n EX j 1 EX k EY 2 DYn ( EYn ) DYn ∵ DYn  n D X j j 1  nn n DX j j 1  n jEX 2 j j 1  (EX 2  n jEX 2 np j j 1 )j即 RY ( n, n ) j m) np RY ( m) ∴ 该随机过程不是平稳过程。 （ 4）设随机过程 X (t) A cos( 0 t ), t ，其中 0 为正常数， A, 是相互独立 的随机变量，且 A 服从在区间 [0 ， 1] 上均匀分布，而 服从在区间 [0 ， 2 ] 上的均匀分布。 解：∵  mx (t )  EX (t)  E[ A cos( 0 t 1 )] 1da 0 2 1 c o s (0t 0 2  )d 0 （常数） 而自相关函数为： RX ( t, t  ) EX (t) X (t ) E[ A2 cos( t  ) cos(  0 (t ) 1 )] cos 0 6 0∴ 该随机过程是平稳随机过程。 0 设随机过 程分布。  X (t )  cos t, t ，其中 在区间 ( 0 1 , 1 ) 中服从均匀 02 2 0 解：随机变量 的概率密度为  f ( ) 1 ( 0 0 其它 1 1 , 0 ) 2 2 ∴ mxt  EX (t ) 1 0 2 1 1 0 2  cos td 1 t11 sin t 0 2 t 1 0 2  (t 0) 2 sin( t t 2 ) cos 0t 不是常数 ∴ 该随机过程不是平稳过程。 2 r 设有随机过程 X ( t) X Yt, t ，而随机向量 ( X ,Y ) 的协旗阵为 1 r22 r 2 解：∵ mx (t) EX (t ) E( X Yt) EX t E Y 当 t 0 时 mx (t) 不是常数 ∴ 该随机过程不是平稳随机过程。 设有随机过程 X ( t ) X Yt Zt 2 , t ，其中 X ，Y ， Z 是相互独立的随机变 量，各自的数学期望为 0，方差为 1。 解：∵ mx (t) EX (t ) E[ X Yt Zt 2 ] EX tEY t 2EZ （常数） 22RX (t ,t 2 2 )