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圆锥曲线一般方程的参数化问题 圆锥曲线一般方程的参数化问题 数学通报２０１５年第５４卷第６期 圆锥曲线一般方程的参数化问题 （中央民族大学理学院１０００８１） 参数ｔ取值同上． 在新课标高中数学教材中，对于椭圆、双曲线此即（２．１）的参数方程，而ｔ的几何意义是表示过和抛物线三种圆锥曲线的参数方程都作了介绍，Ｐ。点的直线的斜率． 但通常是从标准方程进行参数化的．由于参数方程应该指出，如果曲线通过原点，则不需再作移有着广泛的应用，本文将讨论几种关于圆锥曲线一轴；如果曲线不通过原点，可取Ｐ。（ｚ。，Ｙ。）为曲线般方程参数化的简便方法，且几何特征也较明显．与坐标轴的交点会比较简便． ２圆锥曲线一般方程的参数化 方法二假设（２．１）可以写作 设在直角坐标系下圆锥曲线方程为 Ｆ（ｘ，ｙ）三以ｚ２＋２＾ｚ３，＋６３，２＋２９ｚ＋２乃＋ｃ—Ｏ 形式，其中ａ，Ｊ｜９，７，艿均是ｚ，Ｙ的一次函数．ｎ２＋ｈ２＋ｂ２≠０ 求其参数方程． 在曲线Ｆ（ｚ，ｙ）＝０上，任取一点 Ｐｏ（ｚｏ，Ｙｏ），则 Ｆ（ｚ。，Ｙｏ）＝０ 将（２．９）与（２。ｌＯ）两个方程联立，即可将ｚ，Ｙ用ｔ取Ｐ。为新原点，作移轴 的有理函数表示． 以下分别讨论双曲线、抛物线方程参数化的一些方法． 则（２．１）化为３双曲线方程的参数化 凹７２＋２ｈｘ７Ｙ７＋ｂｙ７２＋２９７ｚ７＋２厂ｙ７＝０（２．４） （１）对于双曲线标准方程 ９７＝盯ｏ＋ｈｙｏ＋ｇ，厂＝ｈ：ｃｏ＋ｂｙｏ＋厂（２．５） （３．１）、ｕ。１ 过Ｐ。作直线Ｙ７一ｔｘ７（ｔ是参数），则此直线与（２．４）的交点除原点外将是： 如果化为参数方程，除令詈一ｓｅｃ臼可得其参数方 一，一一２（，７ｆ＋９７） ＆２＋２ｈｔ＋乜 程／Ｉｘｖ一＝６ａｔｓａｅｎｃ；之外，还可以用下述方法求得． √一二绁！！±鲤 ２＋２ｈｔ＋口 其中￡≠＿』‘一矗±￣／＾２一口６）／６，＾２一口６≥ｏ，６≠ｏ ｌ－ａ／２ｈ，６—０，＾≠０ 为它的一条渐近线，则与它平行的直线为 利用（２．３）、（２．５）和（２．６）可得 三一孚一￡参数￡≠０ ，，一丝！！！二；！垫！±金！二坚！二兰堑！二！堑 沈２＋２忽＋ｎ于是（３．１）可以写作 １．，一二！！堑！±垫！±！盟！：二墨！坚！±曼！！±型！ 幻２＋２ｈｔ＋口 ￡（三＋孚）一１ 将（３．３）与（３．４）联立，解得 ２０１５年第５４卷第６期数学通报 ｆｚ一号（÷＋ｔ） 。ｙ一虿ｌｔ一‘Ｊ （２）当曲线Ｆ（ｚ，Ｙ）一０表示双曲线时，可用同样方法求它的参数方程． 为Ｆ（ｘ，ｙ）的一条渐近线，它与原曲线相交于两个无穷远点，将（３．６）代入原方程，则ｚ２和ｚ的系数应为０．因为这里只需确定渐近线的方向优，故令ｚ２的系数为０，即 口＋２ｈｍ＋ｂｍ２—０ 又与渐近线（３．６）平行的直线为 Ｙ一眦＋Ａ，Ａ是参数 将（２．１）与（３．８）联立并利用（３．７），解得 ：塑！±星盆±￡ ２＠＋６ｒｅ）。Ａ．－｛－２（ｇ＋ｆｍ’ 【一（２ｈ＋ｂｉｎ）Ａ２＋２９Ａ—ｆｍ ２（＾＋ｂｍ）Ａ＋２（ｇ＋加） 其中，若ｈ＋ｂｍ：Ｊ：Ｏ，则Ａ≠一万ｇ＋再ｆ磊ｍ，若ｈ＋ｂｉｎ一 ０，设ｇ＋加≠０，此时一。。＜Ａ＜Ｃｘ３． ４抛物线方程的参数化 （１）对于抛物线标准方程 如果化为参数方程，除令了＝２ｐｔ得其参数方程 ｒ：２ｐｔ２之外，还可以用下述方法求得． 我们知道，它的一组平行弦中点的轨迹是一条与主轴平行的直线，即抛物线的直径．它的方程为 ｙ＝ｔ，ｔ为参数 与原方程联立，解得 —ｃｘＤ＜ｔ＜＋。。 （２）当曲线Ｆ（ｚ，ｙ）一０表示抛物线时，可用同样的方法求它的参数方程． 若口≠ｏ，利用抛物线的判别条件ｈ２－－ａｂ＝０，将Ｆ（ｘ，ｙ）一０改写为 Ｆ（ｘ，ｙ）＝（ａｘ＋ｈｙ）２＋２ａｇｘ＋２ａｆｙ＋凹一０ 可以求得它的直径方程 纰＋ｈｙ＋Ａ一０，Ａ是参数 于是（４．４）可写作 ２ａｇｘ＋２ａｆｙ＋ａＣ＋Ａ２＝０ 将（４．５）与（４．６）联立，设以（口厂一ｇｈ）≠０解得 ｈ２Ａ２—２口以＋ａｃｈ ２ａ（。ａｆ－－砂） ～。。＜Ａ＜＋。。 ｌ，，一二堡（墨！