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高考数学复习点拨 理解三角函数的周期性
高考数学复习点拨 理解三角函数的周期性
理解三角函数的周期性
(+2k π) =s i n ,x (k ∈Z 及) cos(x +2k π) =cos x (k ∈Z ) 成立,y =s i n x ,x ∈R 和等式s i n x
y =cos x ,x ∈R 的图象每隔2π重复.
函数周期性定义:对于函数f (x ) ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f (x +T ) =f (x ) ,那么函数f (x ) 叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.
1. 理解定义时,要抓住定义域内任一个x 都满足f (x +T ) =f (x ) 成立才行 π5ππ?ππ??5ππ??ππ?如:sin +?=sin ,sin +?=sin ,但sin +?≠sin , 446?42??42??62?
π不是y =sin x 的周期. 2
周期并不惟一,若T 是y =f (x ) 的周期,那么2T 也是y =f (x ) 的周期. 这是因为f (2T +x ) =f [T +(T +x )]=f (T +x ) =f (x ) ; 若T 是y =f (x ) 的周期,k ∈Z 且k ≠0,则kT 也是f (x ) 的周期. 2π是函数y =sin x 和y =cos x 的周期,那么2k π(k ∈Z 且k ≠0) 也是y =sin x 和y =cos x ∴的周期.
2. 最小正周期的概念
如果在周期函数f (x ) 的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x ) 的最小正周期.
-2π,4π,-4π,…中,存在最小正数2π,那么2π就是例如:函数y =sin x 的周期2π,
y =sin x 的最小正周期.函数y =cos x 的最小正周期也是2π. 例1 求下列函数的最小正周期T .
(1)f (x ) =3sin x ;
(2)f (x ) =sin 2x ;
π??1(3)f (x ) =2sin x +?. 4??2
解:(1)f (x ) =3sin x =3sin(x +2π) =f (x +2π) ,最小正周期T =2π.
(2)f (x ) =sin 2x =sin(2x +2π) =sin 2(x +π) =f (x +π) ,最小正周期T =π;
π?π?1?1??1(3)f (x ) =2sin x +?=2sin x ++2π?=2sin ?(x +4π) +4?4?2?2??2
最小正周期T =4π. π?=f (x +4π) , 4??
2π总结一般规律:y =A sin(ωx +?) ,y =A cos(ωx +?) 的最小正周期是
y =A tan(ωx +?) 的最小正周期是ω;π. ω
π??1例2 求证:y =2sin x +?的周期为2π. 3??2
π?2π?1=4π, 证明:y =2sin x +?的周期为123??2
根据函数的图象特征,可知函数的周期减半,故其周期为2π.
注:遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理.
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