考研高数-泰勒公式和其应用典型例题.pdf

泰勒公式及其应用 泰勒 (Tayler) 中值定理 若函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶导数，则当 时， 可以表示成 这里 是 与 之间的某个值。 三、几个概念 1、 此式称为函数 按 的幂次展开到 阶的泰勒公式； 或者称之为函数 在点 处的 阶泰勒展开式。 当 时， 泰勒公式变为 这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。 为 拉格朗日余项 。 2、对固定的 ，若 有 此式可用作 误差界的估计 。 故 表明： 误差 是当 时较 高阶无穷小， 这一余项表达式称 之为 皮亚诺余项 。 3、若 ，则 在 与 之间，它表示成形式 ， 泰勒公式有较简单的形式 —— 麦克劳林公式 近似公式 误差估计式 【例 1】求 的麦克劳林公式。 解： ， 于是 有近似公式 其误差的界为 我们有函数 的一些近似表达式。 (1) 、 (2) 、 (3) 、 【例2】求 的 阶麦克劳林公式。 解： 它们的值依次取四个数值 。 其中： 同样，我们也可给出曲线 的近似曲线如下，并用 matlab 作出它们的图象。 【例3】求 的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。 解： 于是： 利用泰勒展开式求函数的极限， 可以说是求极限方法中的 “终极武器” ， 使用这一方 法可求许多其它方法难以处理的极限。 【例4 】利用泰勒展开式再求极限 。 解： ， 【注解】 现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处 因为 ，从而 当 时， ，应为 总有一天你会渐渐明白，对自己笑的人不一定是真爱，对方表面的伪善是为博取信赖，暗里他可能会伺机将你伤害。 总有一天你会渐渐明白，不是所有人都对你心门敞开，即使你用善良和真心对待，有的人依然会悄悄将你出卖。 总有一天你会渐渐明白，哪怕你拿到了幸福的号码牌，命运之神也不一定对你温柔相待，你的余生仍有可能会被忧伤覆盖。 总有一天你会渐渐明白，人世间每个人都会有孽缘和无奈，有的人不值得你为他付出和慷慨，命中注定的灾祸你想躲也躲不开。 总有一天你会渐渐明白，不管你在人群中出不出彩，不管你对生活认真抑或懈怠，该来的一切总是会因你而来。 总有一天你会渐渐明白，人生总有预料不到的惊喜和意外，纵然你处在绝望的谷底和天台，转身就有可能看到晴天驱走阴霾。 总有一天你会渐渐明白，无论人生之路宽畅还是狭窄，如果你能用勇敢和坦然对待，一切困难都不是前进的阻碍。 天下总有地方是专属于你的舞台，你的江湖你才是真正的主宰，对于前尘和过往少问应不应该，无论何处你都要展现自己的风采。 别去管自己是不是栋梁人才，世上每个人都是特别的存在，无论你踏步于尘世内外，尽力和无悔才是对命运最好的交差。 这段时间，被电视剧《