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高中数学双曲线抛物线知识点总结 高中数学双曲线抛物线知识点总结 平面内到两个定点, 的距离之差的绝对值是常数2a(2a )的点的轨迹。 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程y??x的双曲线方程可设为2?2??(??0)，与双曲线 x2y2x2y2 ?2?1共渐近线的方程可设为2?2??(??0)。 2 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 （2） 焦距为26，且经过点M（0，12）； ??1有公共渐进线，且经过点A?3,。 （3） 与双曲线 x2y2y2x2 解：（1）设双曲线的标准方程为2?2?1或2?2?1(a?0,b?0)。 由题意知，2b=12，e?∴b=6，c=10，a=8。 c5=。 a4 ?36?1或??1。 ∴标准方程为646436 （2）∵双曲线经过点M（0，12）， ∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴b?c?a?144。 ??1。 ∴标准方程为 （3）设双曲线的方程为2? ab?A?3,在双曲线上 ??1 所以双曲线方程为94 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e、a、b、c四者的关系，构造出e? 和c?a?b的关系式。 a 【例2】双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且 点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥e的取值范围。 解：直线l的方程为 c。求双曲线的离心率5 ??1，级bx+ay-ab=0。 ab 由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l 同理得到点（-1，0）到直线l s?d1?d2? 42ab4c，得≥c ，即5?2c2。 于是得2e2，即4e?25e?25?0。 解不等式，得 5?e2?5。由于e＞1＞0，所以e 的取值范围是?e? 42 【例3】设F1、F2分别是双曲线2?2?1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使 ?F1AF2?90?，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。 解：∵?F1AF2?90 ∴AF1?AF2 又︱AF1︱=3︱AF2︱， ∴AF1?AF2?2AF2?2a即AF2?a， ∴AF1?AF2∴ ?9AF2?AF2?10AF2?10a2?4c2， ce?。 ?? a题型三 直线与双曲线的位置关系 方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程 ?Ax?By?C?0组，即?22，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共2222 ?bx?ay?ab 点和相切不是等价的。 2、直线与双曲线相交所截得的弦长： l?x2?x1?y2?y1 ????????? PF2?PF1?2的点P的轨迹【例4】如图， 已知两定点F1(F2，满足条件 是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点， 如果AB?，且曲线E上存在点C， ???????????? 使OA?OB?mOC，求 （1）曲线E的方程； （2）直线AB的方程； （3）m的值和△ABC的面积S。 解：由双曲线的定义可知， 是以F1(F2为焦点的双曲线的左支， ，易知b??1。 故直线E的方程为x2?y2?1(x?0)， (2)设A(x1,y1), B(x2,y2), ?y=kx-1 由题意建立方程组?22消去y，得(1?k2)x2?2kx?2?0。 又已知直线与双曲线左支交于两点A、B，有 ?1?k2?0,?22 ?(2k)?8(1?k)?0,? 解得k??1。 ?x1?x2??2k2?0, ?0.?x1x2?2 AB?x1?x2? ??依题意得?，整理后得28k4?55k2?25?0， ∴k? 但?k??1， x?y?1?0。 2 ???????????? （3）设C(xc,yc)，由已知OA?OB?mOC，得(x1,y1)?(x2,y2)?(mxc,