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九年级上册知识点总结 (数学)
第二十一章 一元二次方程
一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元) ,并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点:
① 只含有一个未知数;②未知数的最高次数是 2;③是整式方程。知识点二 一元二次方程的一般形式
知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解, 也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程 ( 1) 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。
( 2) 直接开平方法适用于解
用直接开平方法求一元二次方程的根, 要正确运用平方根的性质, 即正数的平方根有两个, 它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
( 4) 直接开平方法解一元二次方程的步骤是: ①移项; ②使二次项系数或含有未知数的式
子的平方项的系数为 1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法, 叫做配方法, 配方的目的是降次, 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为: 一移、二除、三配、四开。 (1) 把常数项移到等号的右边; ( 2) 方程两边都除以二次项系数;
(3 ) 方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式; ( 4) 若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
22.2.2 公 式 法
22.2. 3 因式分解法
知识点一 因式分解法解一元二次方程
) 把一元二次方程的一边化为 0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两 个一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。 ( 2) 因式分解法的详细步骤:
① 移项,将所有的项都移到左边,右边化为 0;
② 把方程的左边分解成两个因式的积, 可用的方法有提公因式、 平方差公式和完全平方公
式;
③ 令每一个因式分别为零,得到一元一次方程; ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知 识 点 二 用 合 适 的 方 法 解 一 元 一 次 方程
实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤:
( 1) 审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
( 2) 设:是指设元,也就是设出未知数。
( 3) 列:就是列方程,这是关键步骤 ,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。
( 4) 解:就是解方程,求出未知数的值。
( 5) 验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义, 符合题意。 (6 ) 答:写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 (1 ) 数字问题
三个连续整数:若设中间的一个数为 x,则另两个数分别为 x-1 ,x+1 。三个连续偶数(奇数):若中间的一个数为 x,则另两个数分别为 x-2,x+2 。 三位数的表示方法:设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c,则这个三位数是 100a+10b+c.
) 增长率问题
设初始量为 a,终止量为 b,平均增长率或平均降低率为 x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为
)利润问题
利润问题常用的相等关系式有:①总利润 = 总销售价 - 总成本;②总利润 = 单位利润×总销售量;③利润 = 成本×利润率
)图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用
含 有 未 知 数 的 代 数 式 表 示 出 来 , 建 立 一 元 二 次 方 程 。
(4 )二次函数 2
yaxhk 的 图 象 与 性质
)二次函数 2yaxbxc 图象的画法 ①画精确图 五点绘图法(列表 - 描点 - 连线)利用配方法将二次函数 2yaxbxc 化为顶点式 2()yaxhk ,确定其开口方向、 对
称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 . ②画草图 抓住以下几点:开口方向,对称轴,与 x 轴的交点,顶点 .
( 2)二次函数图象的平移 平移步骤:
① 将抛物线解析式转化成顶点式
② 可 以 由 抛 物 线 2axy 经 过 适 当 的 平 移 得 到 。 具 体 平 移 方 法 如 下 :
拓展:关于直线与抛物线的交点知识
(1 )y
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