课题学习：最短路径问题教案1人教版(新教案).pdf

． 课题学习 最短路径问题 能利用轴对称解决简单的最短路径问题， 体会图形的变化在解决最值问题中的作用， 感 悟转化思想． 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理． 一师一优课一课一名师 ( 设计者： ) 一、创设情景，明确目标 如图所示，从地到地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？ 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中， 线段最短”、 “连接直线外一点与直线 上各点的所有线段中， 垂线段最短”等的问题， 我们称它们为最短路径问题． 现实生活中经 常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问 题”． 二、自主学习，指向目标 自学教材第 页至 页，思考下列问题： ．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只要 连接这 两点， 与直线 的交点 即为所求，其依据是 两点的所有连线中，线段最短 ． ．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只要找到其中一个点 关于 这条直线的对称点 ，连接 对称点与另一个点 ，则与该直线的交点即为所求． ．在解决最短路径问题时， 我们通常利用 轴对称 、平移 等变化把已知问题转化为容易解 决的问题，从而作出最短路径的选择． 三、合作探究，达成目标 探索最短路径问题 活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天， 一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的地出发，到一条笔直的河边 饮马，然后到地．到河边什么地方饮马可使他所 走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后 来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问 这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将， 两地抽象为两个点，将河 抽 象为一条直线． 追问 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 答： () 从 地出发，到河边 饮马，然后到 地； () 在河边饮马的地点有无穷多处，把这 些地点与， 连接起来的两条线段的长度之和， 就是从 地到饮马地， 再回到 地的路程之和； () 现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的点．设 为直线上的一个动 点，上面的问题就转化为： 当点 在 的什么位置时， 与 的和最小 ( 如图 ) ．问题： 如图， 点， 在直线 的同侧，点 是直线上的一个动点，当点 在 的什么位置时，与的和最小？ 追问：对于问题，如何将点“移”到的另一侧′处，满足直线 上的任意一点，都保持 与′的长度相等？ 追问：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点′吗？ 展示点评： 作法： () 作点 关于直线 的对称点′； () 连接′，与直线 交于点 . 则点 即为所求． 问题 你能用所学的知识证明 ＋最短吗？ 证明：如图，在直线上任取一点′ ( 与点 不重合 ) ，连接′，′，′′ . 由轴对称的性质 知， ＝′，′＝′′. ∴＋＝ ＋′ ＝ ′， ′＋′＝ ′＋′′. 在△′′中，