量子力学之狄拉克符号系统与表象.pdf

罿 Dirac 符号系统与表象 膃 一、 Dirac 符号 肁 1. 引言 膀我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体 的 螈 力学量空间 ,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以 不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而 不用具体坐标系中的分量 (Ax y z , A , A )表示一样。 芃 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。 这种抽象的描 蒂 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用 的符号称为 Dirac 符号。 袂 2. 态矢量 薇 （1）. 右矢空间 莃 力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组 成该空间的完备右矢（或基组） ，即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢） 。 袃 右矢空间的任一矢量 | ψ可按该空间的某一完备基矢展开。例如： 荿 （2 ）. 左矢空间 莅右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 |。 右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间， ψ | 和 | ψ称为伴矢量。 p’|, x ’ |, Qn | 组成左矢空间的完备基组，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的任一 矢量可按左矢空间的完备基矢展开。 蒃 （3 ）. 伴矢量 ψ | 和 | ψ的关系 芃 | ψ 按 Q 的左基矢 |Qn 展开： 肁 | ψ = a 1 |Q 1 + a2 |Q 2 + ... + a3 |Q3 + ... 莈 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： 蒃 ψ|按 Q 的左基矢 Qn | 展开： 蒀 ψ| = a* Q | + a* Q | + ... + a* Q | + ... 1 1 2 2 n n 蕿 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： + 膇 ψ 1 2 n = (a* , a* , ..., a* , ... ) 薃 同理 某一左矢量 φ| 亦可按 Q 的左基矢展开： 袁 φ| = b* 1 Q1 | + b* 2 Q2 | +... + b* n Qn | + ... * 芁 定义 | ψ和 φ| 的标积为： * 。显然 φ| ψ bn an = ψ|φ。对于满足归 n 一化条件的内积有： an * an 1。这样，本征态的归一化条件可以写为： n 袆 由此可以看出： ψ | 和 | ψ满足： 羆 a）在同一确定表象中，各分量互为复共轭； 节 b）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相 加； 虿 c ）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算， 其结果为一 复数。 罿 （4 ）. 本征函数的封闭性 肆 a）分立谱 蚃 展