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高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部 2003 年 4 月制定的普通高中 《数学课程标准》 中明确指出： “数 学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容 ”， “数学建模是数学学 习的一种新的方式， 它为学生提供了自主学习的空间， 有助于学生体验数学在解决问题中的 价值和作用， 体验数学与日常生活和其他学科的联系， 体验综合运用知识和方法解决实际问 题的过程， 增强应用意识； 有助于激发学生学习数学的兴趣， 发展学生的创新意识和实践能 力。 ”教材中常见模型有如下几种 : 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、 最常用的方法。 函数模型与方法在 处理实际问题中的广泛运用， 两个变量或几个变量， 凡能找到它们之间的联系， 并用数学形 式表示出来， 建立起一个函数关系 （数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题， 这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例 1：某商人购货，进价已按原价 a 扣去 25% ，他希望对货物订一新价，以便按新价让 利销售后仍可获得售价 25% 的纯利，则此商人经营者中货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系是 ___________ 。 分析：欲求货物数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系式， 关键是要弄清原价、 进价、 新价之间的关系。 若设新价为 b，则售价为 b （1－20% ），因为原价为 a，所以进价为 a （1－25 ％） 5 解 ： 依 题 意 ， 有 b(1 0.2) a (1 0.25) b(1 0.2) 0.25 化 简 得 b a ， 所 以 4 5 a y 0.2bx a 0.2 x ，即 y x, x N 4 4 2、一次函数问题 例 2 ：某人开汽车以 60km/h 的速度从 A 地到 150km 远处的 B 地，在 B 地停留 1h 后， 再以 50km/h 的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的路 x （km ）表示为时间 t （h ）的函数， 并画出函数的图像。 分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程 x 和时间 t 得函数关系式 x （t ）；同样，可 列出 v(t) 的关系式。要注意 v(t) 是一个矢量，从 B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画 这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解 ： 汽 车 离 开 A 地 的 距 离 x km 与 时 间 t h 之 间 的 关 系 式 是 ： 60 t, t [ 0,2.5] x 150,t (2 .5,3.5] ，图略。 150 50(t 3.5), t (3.5,6.5] 60 ,t [0,2 .5) 速度 vkm/h 与时间 t h 的函数关系式是： v 0,t [ 2.5,3.5) ，图略。