中考数学基本模型—中点模型,初三数学专题复习总结倍长中线练习题.pdfVIP

中考数学基本模型——中点模型 线段中点是几何部分一个非常重要的概念， 和后面学习的中线， 中位线等概念有 着密切的联系 .在几何证明题中也屡次出现 .那么，如果在题中遇到中点你会想到 什么？等腰三角形三线合一； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 还是中 位线定理？今天我们重点探究 “倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交 平行的应用 线相交 . 即“延长中线交平行” 此时，易证△ BEF ≌△ CED 模型三 如图，在△ ABC中，点 D 是 AB 边的中点 . 可作另一边AC 的中点，构造三 角形中位线 . 如下图所示： 模型运用 例 1、如图，在平行四边形 ABCD 中， AD=2AB，点 E 是 BC边的中点. 连接 AE，DE.求∠ AED 的度数. 分析：本题的证明方法有很多，比如利用“双平等腰”模型等 （前文已对这种 做法做过讲解，不再赘述. 链接： 课本例题引出的基本图形——双平等腰模 型 ），这里主要讲一下平行线间夹中点的做法 . 根据平行四边形的性质可知， AB//CD ，又点 E 是 BC 中点，构成了平行线间夹中点 . 当题中出现这些条件 时，只需将 AE 延长和 DC 的延长线相交，就一定会得到全等三角形，进而 得到我们需要的结果. 证明：如图，延长 AE 交 DC 的延长线于点 F. ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AB//CD ，即AB//DF ∴∠ BAE= ∠ CFE ，∠ B= ∠ FCE 又∵点 E 是 BC 中点 ∴ BE=CE ∴△ ABE ≌△ FCE ∴ CF=AB=CD ， AE=FE ∴ DF=2CD, 又∵ AD=2CD ∴ AD=DF, 又因为点 E 是 AF 的中点 ∴ DE⊥ AF 即∠ AED=90 °. 反思：对于本题， 还可以延长 AE 至点 F 使 EF=AE ，连接 CF. 通过证明△ ABE ≌△ FCE得到 AB//CF, 利用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平 行，得到 D、 C、F 三点共线 . 再证明△ 是等腰三角形，利用等腰三角形DAF 三线合一得到结论 . 对于第二种方法，同学们可以自己尝试. 例 2 、在△ ABC中， AB=AC ，点 F 是 BC 延长线上一点，以 CF 为边，作菱 形 CDEF，使菱形 CDEF 与点 A 在 BC 的同侧，连接 BE，点 G 是 BE 的中 点，连接 AG、 DG． （1 ）如图①，当∠ BAC= ∠ DCF=90 °时，直接写出AG 与 DG 的位置和数量 关系； （2 ）如图②，当∠ BAC= ∠ DCF=60 °时，试探究AG 与 DG 的位置和数量关 系， （3 ）当∠ BAC= ∠ DCF= α时，直接写出AG 与 DG 的数量关系． 分析：由题可知， DE//BF ，且点G 是 BE 的中点，满足平行线间夹中点， 所以可将 DG 延长与 BF 相交. 证明：（ 1 ） AG=DG，且AG⊥ DG. 如图，延长 DG 交 BF 于点 H，连接