《应用高等数学（第2版）》课件 第3章 余绵樟-54微积分的产生.pptxVIP

; 微积分（Calculus）是微分学和积分学的总称，它是在实数、函数和极限的基础上来研究函数的微分、积分及有关概念和应用的一门数学分支。; 极限思想是微积分的基础，它是一种用运动的思想观点来看待问题处理解决问题。就好比一个量始终在变化着不好研究，但通过无限细分（即微元）分割成一小块一小块，把小块上的量当作常量来处理，再经过无限累加，最终把问题解决。; 微积分成为一门学科是在十七世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已产生了。在中国，公元前4世纪的桓团、公孙龙等所提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”，公元3世纪的刘徽的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”，公元5～6世纪的祖冲之、祖暅对圆周率、面积以及体积的研究，都包含有极限和微积分的思想萌芽。; 开普（德）、卡瓦列里（意）和牛顿的老师巴罗（英）等人也研究过这些问题，但是没有形成理论和普遍适用的方法。1638年，费尔马（法）首次引用字母表示无限小量，并运用它来解决极植问题。稍后，他又提出了一个与现代求导过程实质相同的求切线的方法，并用这种方法解决了一些切线问题和极值问题。; 在欧洲，公元前3世纪古希腊的欧几里得、阿基米德所建立的确定面积和体积的方法，也都包含有上述萌芽。在十六世纪末、十七世纪初，由于受力学问题的研究、函数概念的产生和几何问题可以用代数方法来解决的影响，促使许多数学家去探索微积分。; 后来，英格兰学派的格雷果里、瓦里斯继续费尔马的工作，用符号“ ”表示无限小量，并用它进行求切线的运算。到十七世纪早期，他们已经建立起一系列求解无限小问题的特殊方法。诸如，求曲线的切线、曲率、极大极小值，求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度、物体重心的计算等。但他们的工作差不多都局限于一些具体问题的细节之中，还缺乏普遍性的规律。; 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。他们的最大功??是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。; 牛顿是从物理学观点来研究数学的，他创立的微积分学原理同他的力学研究是分不开的。他发现了力学三大定律和万有引力定律。1687年牛顿出版了《自然哲学的数学原理》。《原理》从作为力学基础的定义和公理（运动定律）出发，将整个力学建立在严谨的数学演绎基础上。就数学本身而言，《原理》不仅深入地运用了牛顿本人创造的分析工具，而且也是牛顿分析学说的第一次正式公布。他超越前人的功绩在于：将前人创立的特殊技巧统一为一般的算法，特别是确立了微分与积分这两类运算的互逆关系（微积分基本定理）。; 莱布尼茨却是从几何学的角度去考虑微积分的，特别是和巴罗的微分三角形有密切关系。1684年，他在《学艺》杂志上发表了他的第一篇微分学文章《一种求极大极小和切线的新方法…》。他在文章中谈到量的微分概念，提出量的和、差、积、商、根、幂的微分公式，以及微分方法在求切线、求极值等几何问题上的应用。以后又陆续发表了一些文章，提出了诸如指数，对数的微分公式和微分的进一步的应用，他力图找到普遍的方法来解决数学分析中的问题。这样，在十七世纪七十年代中期，莱布尼茨通过研究几何问题，建立了与流数法实质一样的微积分算法。; 莱布尼茨所引进的微积分符号“ ”比牛顿用的符号更灵活，更能反映微积分的本质。例如微分 ，二阶微分 积分和导数都非常适合、便利，这些符号一直沿用到今天，在促进微积分方法发展方面起了积极作用。 ; 牛顿和莱布尼茨的工作是各自独立的，牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。; 他俩的工作有很大的不同，主要区别是：牛顿把 和 的无穷小增量作为求导数的手段。当增量越来越小的时候，导数实际上就是增量的比的极限。而莱布尼茨却直接用 和 的无穷小增量（就是微分）求出它们之间的关系。这个差别反映了牛顿的物理学方向和莱布尼茨的几何学方向的不同思维方式。; 在物理学方面，需要关注速度、加速度等问题，而几何学却着眼于面积体积的计算：牛顿自由地用级数表示函数，而莱布尼茨宁愿用有限的形式来实现。他们的工作方式也不同，牛顿是经验的、具体的和谨慎的，而莱布尼茨是富于想象的、喜欢推广的而且是大胆的；他们??记号的关心也有差别，牛顿认为用什么记号无关紧要，而莱布尼茨却花费很多时间来选择富有提示性的符号。; 到19世纪，经过法