1第一章误差其传播定律第二三周.pptx

1．协方差协方差是用数学期望来定义的。设有观测值 和 ， 它们的协方差定义是： （1-4-1）式中： 和 分别是 和 的真误差。 （1-4-2） §1-4 协方差传播律及其应用一、协方差与相关 设 是观测值 的真误差， 是观测值 的真误差，而协方差 则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即 实用上n总是有限值，所以也只能求得它的估值，记为（1-4-3） 当X和Y相互独立时： 当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是，逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味着相互独立。只有当和服从联合正态分布时，协方差为零才是相互独立的充分条件。因此，对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相互独立是等价条件。 由于 和 为正，所以 的正负取决于 的正负。 大于零称为正相关， 小于零称为负相关， 等于零称为不相关。可以证明， 的绝对值不大于1。（1-4-4）2．相关由式（1-4-1）得： 相关系数 3．协方差与协方差阵 假定有n个不同精度的相关观测值 （ 下同），它们的数学期望和方差分别为 和 ，它们两两之间的协方差为,用矩阵表示为:（1-4-5）式中 为观测值向量,简称为观测值； 为 的数学期望； 为观测值向量 的方差-协方差阵，简称为协方差阵。讨论，展开！板书（1-4-6） 式中 和 分别为X和Y的协方差阵， 是X关于Y的互协方差阵。（1-4-7） 当 和 的维数n=r=1时，即 、 都是一个观测值，互协方差阵就是 关于 的协方差。当 时，则称 与 是相互独立的观测值向量。设有观测值向量 和 ，它们的数学期望分别为 和 。令： ；则 的方差阵 为 ：设有观测值向量 ，其数学期望为 ，协方差阵为,即（1-4-8） 观测值线性函数的方差 式中 为 的方差， 为 和 的协方差，又设有 的线性函数为：令： （1-4-9）则： 对上式两边取数学期望：（1-4-10） Z的方差为：即： （1-4-11） 的纯量形式： 当向量中的各分量 两两独立时，它们之间的协方差=0，此时上式为：（1-4-13） 线性函数的协方差传播律叙述为：，则： 设有函数： （1-4-12） 求ＤＥ边的坐标方位角及其精度 三、多个观测值线性函数的协方差阵设有观测值向量 和 ， 的数学期望和协方差阵分别为 和 ， 的数学期望和协方差阵分别为 和 ， 关于 的互协方差阵为 。 ,,则： （1-4-15） （1-4-16） 若令： 若有X的t个线性函数：（1-4-14）即： 令： 即： （1-4-19） （1-4-20） （1-4-21） 另设有Y的s个线性函数 (1-4-18） 根据互协方差阵的定义：（1-4-23） 设有观测值向量X和Y的线性函数： 这就是协方差传播律的实用计算公式，其它计算公式均可由此导出。 （1-4-22） 四、协方差传播律例[1-4] 设有函数：X的方差阵,Y的方差阵 ，X关于Y的互协方差阵为 （ ），K、 、F、 为常系数阵。求： 、 、 、 、 、 、（1）．计算 、 、 （2）．计算（3）．计算（4）．计算（ 表示单位阵） （5）．计算或：五、非线性函数的情况 1．单个非线性函数设有观测值 的非线性函数： 或表示为 （1-4-24）已知 的协方差阵 ，求Z的方差 。假定观测值有近似值： 对（1-4-24）式全微分为（1-4-25） 根据协方差传播律： 为了求非线性函数的方差，只要对它求全微分就可以了。2．多个非线性函数如果有X的t个非线性函数（1-4-26） 将个函数求全微分得（1-4-27） 若记 （1-4-28）则有：（1-4-29）根据协方差传播律得 的协方差阵： （1-4-30） 因此，对于非线性函数，首先用全微分将其线性化，然后用线性函数的协方差传播律计算。 例[1-5] 由：