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三十四 不同函数增长的差异
【基础全面练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.以下四种说法中,正确的是( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x0,xnlogax
C.对任意的x0,axlogax
D.不一定存在x0,当xx0时,总有axxnlogax
【解析】选D.对于A,幂函数的增长速度受幂指数的影响,幂指数不确定,而一次函数的增长速度受一次项系数的影响,增长速度不能比较;对于B、C,当0a1时,显然不成立;对于D,当a1,n0时,一定存在x0,使得当xx0时,总有axxnlogax,但若去掉限制条件“a1,n0”,则结论不成立.
【加固训练】
如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额=车票收入-支出费用).由于目前本条路线在亏损,公司有关人员提出了两条建议:建议(1)是不改变车票价格,减少支出费用;建议(2)是不改变支出费用,提高车票价格.图中虚线表示调整前的状态,实线表示调整后的状态.下列说法中正确的是( )
A.①反映了建议(2),③反映了建议(1)
B.①反映了建议(1),③反映了建议(2)
C.②反映了建议(1),④反映了建议(2)
D.④反映了建议(1),②反映了建议(2)
【解析】选B.建议(1)是不改变车票价格,减少支出费用,也就是增大y,车票价格不变,即平行于原图象.故①反映了建议(1);建议(2)是不改变支出费用,提高车票价格,即图形增大倾斜度,提高价格,故③反映了建议(2).
2.在某实验中,测得变量x和变量y之间对应数据,如表.
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-1.01
0.01
0.98
2.00
则x,y最合适的函数是( )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
【解析】选D.根据x=0.50,y=-1.01,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.
3.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标,特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为x万元(4≤x≤10)时,奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过2万元,同时不超过销售利润的 eq \f(1,2) ,则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 5≈0.7)( )
A.y=0.4x B.y=lg x+1
C.y=x eq \f(1,2) D.y=1.125x
【解析】选B.由题意,知符合公司要求的模型只需满足:
当x∈[4,10]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过2;③y≤ eq \f(1,2) x.选项A中,y=0.4x满足①,但当x5时,y2,不满足②;选项B中,y=lg x+1满足①,当x≥10时,y取得最大值2,作出函数y=lg x+1和函数y= eq \f(1,2) x的图象(图略),可知该函数满足③,故B项满足公司要求;选项C中,y=满足①,但当x4时,y2,不满足②;选项D中,y=1.125x满足①,但当x时,y2,不满足②.
4.当a1时,有下列结论:
①指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;
②指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;
③对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;
④对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.
其中正确的结论是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【解析】选B.结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到表中的实验数据:
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下4个模拟函数:
①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;
③y=x2-5.5x+8;④y=log2x.
请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选________.
【解析】画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④.
答案:④
6.函数y=x2与函数y=x ln x在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________.
【解析】当x变大时,x比ln x增长要快,
所以x2要比x ln x增长的要快.
答案:y=x2
三、解答题
7.(10分)有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费方式不同.甲中心每小时5元;乙中心按月计算,一个月中30 h以内(含30 h)90元,超过30 h的部分每小时
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