数学建模之统计回归模型..docx

数学建模大作业 统计回归模型 PAGE PAGE 17 摘要 某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，题目给出了 1977—1981 此公司的销售额和行业销售额的分季度数据表格。通过对所给数据的简单分析，我们可以看出：此公司的销售额有随着行业销售额的增加而增加的趋势，为了更加精确的分析题目所给的数据，得出科学的结论，从而达到合理预测的目的。我们使用时间序列分析法，参照课本统计回归模型例 4，做出了如下的统计回归模型。 在问题一中，我们使用 MATLB 数学软件，画出了数据的散点图，通过观察散点图，发现公司的销售额和行业销售额之间有很强的线性关系，于是我们用线性回归模型去拟合，发 现有很好的拟合性。但是这种情况下，并没有考虑到数据的自相关性，所以我们做了下面几 个问题的分析来对这个数学模型进行优化。 在问题二中，通过建立了公司销售额对全行业销售额的回归模型，并使用 DW 检测诊断随机误差项的自相关性。 通过计算和查 DW 表比较后发现随即误差存在正自相关，也就是说前面的模型有一定的局限性，预测结果存在一定的偏差，还有需要改进的地方。 在问题三中，因为在问题二中得出随即误差存在正自相关，为了消除随机误差的自相关性，我们建立了一个加入自相关后的回归模型。并对其作出了分析和验证，我们发现加入自相关后的回归模型更加合理。通过使用我们建立的模型对公司的销售额进行预测，发现和实际的销售额很接近，也就是说模型效果还不错。 关键词： 销售额、回归模型、自相关性 一、问题提出 某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，下表给出了 1977-1981 年公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元） . 画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。 监理公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用 DW 检验诊断随机误差项的自相关性。 年季 年 季 t 公司销售额 y 行业销售额 x 年 季 t 公司销售额 y 行业销售额 x 1977 1 1 20.96 127.3 1979 3 11 24.54 148.3 2 2 21.40 130.0 4 12 24.30 146.6 3 3 21.96 132.7 1980 1 13 25.00 150.2 4 4 21.52 129.4 2 14 25.64 153.1 1978 1 5 22.39 135.0 3 15 26.36 157.3 2 6 22.76 137.1 4 16 26.98 160.7 3 7 23.48 141.2 1981 1 17 27.52 164.2 4 8 23.66 142.8 2 18 27.78 165.6 1979 1 9 24.10 145.5 3 19 28.24 168.7 2 10 24.01 145.3 4 20 28.78 171.7 二、基本假设 假设一：模型中 ε（对时间 t ）相互独立。 三、符号说明 公司销售额： y （百万） 行业销售额： x（百万） 概念介绍： 自相关：自相关（ auto correlation ），又称序列相关（ serial correlation ）是指总体 回归模型的随机误差项之间存在的相关关系。即不同观测点上的误差项彼此相关。 置信区间：如果 P（ a 1- α的置信区间。 x b ）=1- α，α=0.1 或 0.05 ，则称区间 [a,b] 为x 的置信度为 时间序列：时间序列法是一种定量预测方法，亦称简单外延方法。时间序列即按时间的推移或排布会对规律的变化有所影响。 四、问题分析 问题一：表中的数据是以时间为顺序的。由于前期的销售额对后期的投资一般有明显的影响，从而对后期的后期的销售额造成影响。因此在此模型中应考虑到存在自相关，我们可以先建立基本的回归模型，然后再进行自相关性诊断，并建立新的回归模型。 问题二：在问题一之后，就可以接着求出问题二，然后利用 DW检验诊断随机误差项的 自相关性。 问题三：进行了自相关诊断后，将自相关加入模型中，建立消除了随机误差项自相关性的回归模型。 五、模型的建立与求解 问题一 问题一的分析 表中数据是以时间为序的，建立基本的回归模型。 问题一模型的建立 基本回归模型： 设该公司第 t 时间的公司销售额为 yt ，行业销售额为 xt 。为了大致分析 yt 和 xt 的关系， 首先利用表中的数据作出 yt 对 xt 关系作出散点图，如下（见图中的“ +”）：做散点图： 可以看出，随着行业销售额的增加，公司销售额增大，而且两者有很强的线性关系，图中的直线说明两者呈线性模型，因此本题用线性回归模型拟合非常合适。 问题二 问题二的分析 从问题一中的图形可以看出，随着行业销售额的增加，公司销售额增大，而且两者有很强的线性关系，图中