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经典分段函数专题 高考真题 类型一：与周期有关 类型二：与单调性有关类型三：奇偶性有关 类型四：与零点和交点问题有关类型五 ;与求导和函数性质有关类型六：数形结合 高考真题 2010 11 、已知函数  f ( x) x2 1, x ,则满足不等式  2 f (1 x )  f (2 x)  的 x 的围是 。 1, x 0 【解析】考查分段函数的单调性。 x2 2x 1 x2 0  x ( 1, 2 1) 2011 11 、 （ 分 类 方 程 求 解 ） 已 知 实 数 a ， 函 数  f ( x) 2x a, x 1 ， 若 x 2a, x 1 f (1 a) f (1 ，则 a 的值为 解析： a 0,2 2a a 3 a 2a, a ， a 2 0, 1 a 2a 3 2a a, a 4 2012 ．（方程组求解）设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 [ 1，1] 上， f ( x) ax 1， bx 2 1≤ x 0， 1 其中 a ，b R ． 若 f  3 f ，则 a  3b 的值为 ▲ ． ，0≤ x 1 x ≤ 1， 2 2 【解析】因为 T 2 ，所以 f ( 1) f (1) ，求得 2a b 0 . 1 3 1 1 由 f ( ) f ( ) ， T 2 得 f ( ) f ( ) ，解得 3a 2b 2 . 2 2 2 2 2a b 0 联立 a 2 ，解得 3a 2b 2 b 4 所以 a 3b 10 . 2013 2．（ 分 区 间 二次 不 等 式 求 解 ） 已 知 2 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 。 当 x 0 时 ， f ( x) x 4 x ，则不等式 f (x) x 的解集用区间表示为 ． 【答案】 (﹣ 5 ， 0) ∪ (5 ，﹢∞ ) 【解析】 做出 f ( x) x2 4x ( x 0 )的图像， 如下图所示。 由于 f ( x) 是定义在 R 上的奇 函数，利用奇函数图像关于原点对称做出 x＜0 的图像。不等式 f (x) x ，表示函数 y ＝ f ( x) 的图像在 y ＝ x 的上方，观察图像易得：解集为 (﹣ 5， 0) ∪ (5 ，﹢∞ )。2014 13. （周期函数 + 数形结合求围）已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数 ,当 x [ 0,3) 时, f (x) | x 2 2 x 1 | .若函数 y 2 f ( x) a 在区间 [ 3,4] 上有 10 个零点 (互不相同 ),则实数 a 的取值围是 ▲ . 【答案】 1 (0, ) 2 【解析】作出函数 f ( x) x2 2x 1 , x 2 [0,3)  的图象，可见 f (0) 1 ， 当 x 2 1 时， f ( x)极大 1 ， f 2 (3) 7 ，方程 2 f (x) a 0 在 x [ 3, 4]  上有 10 个零点，即函数 y f (x) 和图象与直线 y a 在 [ 3,4] 上有 10 个交点， 由于函数 f (x) 的周期为 3 ，因此 直线 y a 与函数 f (x) x2 2 x 1 , x 2 [0,3) 的应该是 4 个交点，则有 a 1 (0, ) ． 2 2015 13. （绝对值分类讨论 + 数形结合求根个数）已知函数 f ( x) | ln x | ， g( x) 0,0 x 1 2  ，则方程  | f (x)  g( x) |  1 实根的个数为 | x 4 | 2, x 1 利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判 断通常转化为两函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键， 不仅要研究其走势 （单调性， 极值点、渐近线等） ，而且要明确其变化速度快慢 . 2016 11. （ 方 程 求 解 ） 设 f x 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 ， 在 区 间 1,1 上 x a, 1 x 0, f x 2 x , 0 5 x 1, 其中 a R ，若 f 5 f 9 ， 则 f 5a 的值是 ． 2 2 【答案】 2 ； 5 【解析】 由题意得 f 5 f 1 1 a ， f 9 f 1 2 1 1 ， 2 2 2 2 2 5 2 10 由 f 5 f 9 可得 1 a 1 ，则 a 3 ， 2 2 2 10 5 则 f 5a f 3 f 1 1 a 1 3 2 5 5 2017 年 14 ．设  f (x)  是定义在 R 上且周期为 1