阿氏圆问题归纳.pdf

阿氏圆题型的解题方法和技巧 以阿氏圆 ( 阿波罗尼斯圆 ) 为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现， 对于此类问 题的归纳和剖析显得非常重要 . 具体内容如下： 阿氏圆定理 ( 全称：阿波罗尼斯圆定理 ) ，具体的描述：一动点 P 到两定点 A、B 的距离 m m 之比等于定比 n ( ≠ 1) ，则 P 点的轨迹， 是以定比 n 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连 线为直径的圆． 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现， 该圆称为阿波罗尼斯圆， 简 称阿氏圆． 定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的 PA+kPB，(k ≠ 1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型 . PA+kPB,(k ≠ 1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏圆基本解法 ：构造 母子三角形相似 【问题 】在平面直角坐标系 xOy 中，在 x 轴、 y 轴分别有点 C(m，0) ，D(0 ，n). 点 P 是平面 内一动点，且 OP=r，求 PC+kPD的最小值 . 阿氏圆一般解题步骤： 第一步：确定动点的运动轨迹 ( 圆) ，以点 O 为圆心、 r 为半径画圆； ( 若圆已经画出则可省 略这一步 ) 第二步： 连接动点至圆心 O(将系数不为 1 的线段的固定端点与圆心相连接 ) ，即连接 OP、OD； 第三步：计算出所连接的这两条线段 OP、OD长度； 第四步：计算这两条线段长度的比 k； 第五步：在 OD上取点 M，使得 OM:OP=OP:OD=k； 第六步：连接 CM，与圆 O 交点即为点 P．此时 CM即所求的最小值 . 【补充：若能直接构造△相似计算的， 直接计算， 不能直接构造△相似计算的， 先把 k 提到 1 括号外边，将其中一条线段的系数化成 ，再构造△相似进行计算 】 k 1 习题 【旋转隐圆 】如图，在 Rt △ABC中，∠ ACB=90°， D为 AC 的中点， M为 BD的中点，将线段 AD绕 A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点 M为 BD的中点），若 AC=4，BC=3，那么在旋转 过程中，线段 CM长度的取值范围是 ___________. 2 1.Rt △ABC中，∠ ACB=90°，AC=4，BC=3，点 D 为△ ABC 内一动点，满足 CD=2，则 AD+ BD 3 的最小值为 _______. 2. 如图，菱形 ABCD的边长为 2 ，锐角大小为 60 °，⊙ A 与 BC相切于点 E，在⊙ A 上任取一 3 点 P，则 PB+ PD的最小值为 ________. 2 3. 如图， 已知菱形 ABCD的边长为 4 ，∠B=60°，圆 B 的半径为 2 ，P 为圆 B 上一动点，