第22届全国中学生物理竞赛复赛答案.docx

第 22 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 一、1．如图所示， 设滑块出发点为 P1 ，离开点为 P2 ，按题意要求 O1 P1 、 O2 P2 与竖直方向的夹角相等， 设其为 ，若离开滑道时的速度为 v，则滑块在 P2 处脱 A O1 离滑道的条件是 m 2 P1 v mg cos ( 1) O R P2 由机械能守恒 2mgR(1 cos ) 1 mv 2 ( 2) O2 B 2 ( 1) 、( 2) 联立解得 cos 4 或 arccos 4 36 52 ( 3) 5 5 2．设滑块刚能在 O 点离开滑道的条件是 m 02 v mg （ 4） R v0 为滑块到达 O 点的速度，由此得 v 0 Rg （5） 设到达 O 点的速度为 v0 的滑块在滑道 OA 上的出发点到 O 的连线与竖直的夹角为 0 ，由机械能守恒，有 1 mgR(1 cos 0 ) 1 mv 02 （6） 2 由（ 5）、（ 6）两式解得 π （7） 0 3 若滑块到达 O 点时的速度 v v 0 ，则对 OB 滑道来说，因 O 点可能提供的最大向心力为 mg，故滑块将 沿半径比 R 大的圆周的水平切线方向离开 O 点．对于 v v 0 的滑块，其在 OA 上出发点的位置对应的 角 必大于 0 ，即 0 ，由于 max π2 ，根据机械能守恒，到达 O 点的最大速度 v max 2Rg （8） 由此可知，能从 O 点离开滑道的滑块速度是 v0 到 v max 之间所有可能的值，也就是说， 从 π3 至 π2 下滑 的滑块都将在 O 点离开滑道．以速度 v0 从 O 点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至 O2 的距离 x0 v 0 t （9） 21 世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有 @21 世纪教育网 R 1 gt 2 （ 10） 2 由（ 5）、（ 9）、（ 10）式得 x0 2R （ 11） 当滑块以 v max 从 O 点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到 O2 的距离 xmax v maxt （ 12） 由（ 8）、（ 10）、（ 12）式得 xmax 2R （ 13） 因此，凡能从 O 点脱离滑道的滑块，其落水点到 O2 的距离在 2 R 到 2R 之间的所有可能值．即 2R x 2R （ 14） 二、 1．由静电感应知空腔 1、2 及 3 的表面分别出现电量为 q1 、 q2 和 q3 的面电荷，由电荷守恒 定律可知，在导体球的外表面呈现出电量 q1 q2 q3 ．由静电屏蔽可知，点电荷 q1 及感应电荷（ q1 ）在 空腔外产生的电场为零； 点电荷 q2 及感应电荷 （ q2 ）在空腔外产生的电场为零； 点电荷 q3 及感应电荷 （ - q3 ）在空腔外产生的电场为零． 因此，在导体球外没有电荷时， 球表面的电量 q1 q2 q3 作球对称分布． 当球外 P 点处放置电荷 Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为q1 q 2 q3 ，但这些电荷在球面 上不再均匀分布，由球外的 Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零． O3 处的电势由位于 P 点处的 Q、导体球表面的电荷 q1 q2 q3 及空腔 3 表面的感应电荷（ q3 ）共 同产生．无论 q1 q2 q3 在球面上如何分布，球面上的面电荷到 O 点的距离都是 R，因而在 O 点产生的 电势为 k q1 q2 q3 ， Q 在 O 点产生的电势为 k Q ，这两部分电荷在 O3 点产生的电势 U 与它们在 O 点 R 2R 产生的电势相等，即有 U q1 q2 q3 Q Q 2q1 2q2 2q3 （ 1） k 2R k 2R R 因 q3 放在空腔 3 的中心处，其感应电荷 q3 在空腔 3 壁上均匀分布．这些电荷在 O3 点产生的电势为 U q3 (2) k r 根据电势叠加定理， O3 点的电势为 21 世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有 @21 世纪教育网 U U U k Q 2q1 2q2 2q3 q3 (3) 2R r 故 q3 的电势能 W q3U kq3 Q 2q1 2q2 2q3 q3 (4) 2R r 2． 由于静电屏蔽，空腔 1 外所有电荷在空腔 1 内产生的合电场为零，空腔 1 内的电荷 q1 仅受到腔内壁感 应电荷 q 的静电力作用，因 q1 不在空腔 1 的中心 O1 点，所以感应电荷 q 在空腔表面分布不均匀，与 1 1 q1 相距较近的区域电荷面密度较大，对 q1 的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静