第27炼三角函数的值域.docx

第 27 炼 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如 y Asin x 解析式的求解：详见“函数 y Asin x 解析式的求解” 一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式： cos2 1 cos2 ,sin 21 cos2 2 2 （2） 2sin cos sin 2 （3）两角和差的正余弦公式 sin sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin （4）合角公式：  a sin  b cos  a2  b2 sin  ，其中  tan  b a 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如  y  Asin  x  的值域：使用换元法，设  t  x  ，根据  x 的范围确定  t 的 范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出 x 的三角函数值，进而得到值域 例：求 f x 2sin 2x , x , 4 的值域 4 4 解：设 t 2x 当 x , 时， t 2x 3 , 4 4 4 4 4 4 sin t 2 2 2 , 2 f x 2, 2 （2）形如 y f sin x 的形式， 即 y f t 与 t sin x 的复合函数： 通常先将解析式化简 为同角同三角函数名的形式， 然后将此三角函数视为一个整体， 通过换元解析式转变为熟悉 的函数，再求出值域即可 例：求 f x sin x cos2 x 2, x , 2 的值域 6 3 解： f x sin x 1 sin2 x 2 sin 2 x sin x 1 设 t sin x x , 2 t 1 3 ,1 6 2 2 y t 2 t 1 t 1 3 2 4 y 3 ,3 ，即 f x 的值域为 3 ,3 4 4 3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理（详见例 5，例 6） 二、典型例题 例 1：已知向量 a cos x,sin x 3 cos x , b cos x 3 sin x, sin x , f x a b （1）求函数 f x 的单调递增区间 （2）当 x , 时，求 f x 的取值范围 6 4 解：（ 1） f x a b cos x cos x 3 sin x sin x 3 cos x sin x cos2 x sin2 x 2 3sin xcos x cos2x 3 sin 2x 2cos 2x 3 2k2x 2 2k k x 5 k k Z 3 3 6 单调递增区间为： k , 5 k k Z 3 6 （ 2）思路：由（ 1 ）可得： f x2cos 2x ，从 x , 得到角 2x 的范 3 6 4 3 围，进而求出 f x 的范围 解：由（ 1）得： f x 2cos 2x 3 x , 2x , 2x 5 6 2 0 , 4 3 3 6 cos 2x 3 3 ,1 f x 2 c o s 2x 3 , 2 2 3 小炼有话说： 对于形如 f x Asin x 的形式，通常可先计算出x 的范围，再 确定其三角函数值的范围 例 2：已知函数 f x cos 2x 2sin x sin x 3 4 4 （1）求函数 f x 的最小正周期和图像的对称轴方程 （2）求函数 f x 在区间 , 的值域 12 2 解：（ 1） f x cos 2x 2sin x 4 sin x 4 3 1 cos2x 3 sin 2x 2 2 sin x 2 cos x 2 sin x 2 cos x 2 2 2 2 2 2 1 cos2x 3 sin 2x sin2 x cos2 x 2 2 1 cos2x 3 sin 2x cos 2x 3 sin 2x 1 cos2x 2 2 2 2 sin 2x 6 T 对称轴方程： 2x k x k Z k 6 2 3 2 （2）思路：将 2x 视为一个整体，先根据 x 的范围求出 2x的范围，再判断其正弦 6 6 值的范围 解： f x sin 2x 6 x , 2x , 5 2 6 6 12 3 f x sin 2x 3 6 ,1 2 例 3：函数 y cos x sin2 x cos2 x 7 的最大值为 ___________ 4 思路： 解析式中的项种类过多， 不利于化简与分析， 所以考虑尽量转化为同一个角的某一个 三角函数。观察可得 cosx 次数较低，所以不利于转化，而 sin2 x,cos2 x 均可以用 cosx 进 行表示，确定核心项为 cosx ，解析式变形为 y cosx 1