第21炼多元不等式的证明.docx

第 21 炼 多元不等式的证明 多元不等式的证明是导数综合题的一个难点， 其困难之处如何构造合适的一元函数， 本 章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。 一、基础知识 1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： 1）利用条件粗略确定变量的取值范围 2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用 2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个 n 元代数式，如果交换任意两个字 母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式） ，则可对变量进行定序 3、证明多元不等式通常的方法有两个 1）消元：① 利用条件代入消元② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式 3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。二、典型例题： 例 1：已知 f x ln x, g ( x) f x ax2 bx ，其中 g x 图像在 1,g 1 处的切线平行 于 x 轴 （1）确定 a 与 b 的关系 （ 2） 设 斜 率 为 k 的 直 线 与 f x 的 图 像 交 于 A x1, y1 , B x2, y2 x1 x2 ， 求 证 ： 1 k x2 x1 解：（ 1） g x ln x ax2 bx g x 1 2 a x ，b依题意可得： x g 1 1 2a b 0 b 2a 1 （2）思路： k y2 y1 ln x2 ln x1 ，所证不等式为 1 ln x2 ln x1 1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x1 即 x2 x1 ln x2 x2 x1 ，进而可将 x2 视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不 x2 x1 x1 x1 等式 解：依题意得 k y2 y1 ln x2 ln x1 ，故所证不等式等价于： x2 x1 x2 x1 1 ln x2 ln x1 1 x2 x1 ln x2 x2 x1 1 x1 ln x2 x2 1 x2 x2 x1 x1 x2 x1 x1 x2 x1 x1 令 t x2 ,( t 1) ，则只需证： 1 1 ln t t 1 x1 t 先证右边不等式： ln t t 1 ln t t 1 0 令 h x ln t t 1 h t 1 1 1 t t t h t 在 1, 单调递减 h t h 1 0 即 ln t t 1 0 对于左边不等式： 1 1 ln t ln t 1 1 0 t t 令 p(t) ln t 1 1 ，则 p t 1 1 t 1 t t t 2 t2 p t 在 1，+ 单调递增 p t p 1 0 小炼有话说： （ 1）在证明不等式 1 ln x2 ln x1 1 时，由于 x1 , x2 独立取值，无法利用等量关系消 x2 x2 x1 x1 去一个变量， 所以考虑构造表达式 f x1, x2 ：使得不等式以 f x1, x2 为研究对象， 再利用 换元将多元不等式转变为一元不等式 （2）所证不等式为轮换对称式时，若 x1, x2 独立取值，可对 x1, x2 定序，从而增加一个可操 作的条件 例 2：已知函数 f x x ln x ． （1）求 f ( x) 的单调区间和极值； （ 2）设 A x1, f x1 , B x2, f x2 ，且 x x ，证明： f x2 f x1 f x1x2 1 2 x2 x1 2 解： （1）定义域为 0, f x ln x 1 令 f x 0 解得： x 1 e ∴ f x 的单调增区间是 1, ，单调减区间是 0, 1 e e f x 的极小值为 f 1 1 ln 1 1 ，无极大值 e e e e （2）思路：所证不等式等价于证 x2 ln x2 x1 ln x1 ln x1 x2 1，轮换对称式可设 x1 x2 ， x2 x1 2 进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量 证明：不妨设 x1 x2 kAB f ( x1 x2 ) x2 ln x2 x1 ln x1 ln x1 x2 1 2 x2 x1 2 x2 ln x2 x1 ln x1 x2 ln x1 x2 x1 ln x1 x2 x2 x1 （由于定序 x1 x2 ，去分母避免了 2 2 分类讨论） x2 ln 2x2 x1 ln 2x1 x2 x1 （观察两边同时除以 x1 ，即可构造出关于 x2 的不等式） x1 x2 x1 x2 x1 2 x2 两边同除以 x 得， x2 ln x1 ln 2 x2 1 令 x2 t ，则 t 1 ， 1 x1 x2 x2 x1 x1 11 1 x1