蒙提霍尔问题.docx

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蒙提霍尔问题 蒙提霍尔问题( 1)——直觉与计算 概率的观点就像信念同样,存在于人们朦胧的直觉中,经过学校教育,表面上以为认识了,经常又与不同角度出发的直觉矛盾矛盾,必须经过更深入的考察思索才能够理解。 蒙提霍尔问题的热议,便是一个例子。还没有一个简单的概率问题,长时间地诱惑着这么多的民众和学者,越是深入思 考越发现问题。 自 1990,1991 年纷起热议之后到了 2000 年, 有超过 75 篇对于这个问题的论文发表在 40 多种学术和民众 刊物上。两种结论反复交手,不同观点一直纠缠,英文 Wiki 被双方不断更新资料的编写之战折腾着。有的错误一直到了现在才发现。二十多年过去了,至今还偶尔在论文、书刊和电视上议论。在民众书刊和百科中混淆着很多简单化似是而非的介绍。 我不想重述争议的细节和对错的结论,只是通过解析典型的说法和认知的反复,来促使对概率观点和数学模型的理解。 蒙提霍尔问题( Monty Hall problem )【 1】是一个概率猜谜游 戏。 1990 年 9 月 Craig F. Whitaker 给《 Parade》杂志“ Ask Marilyn ”专栏提了一个问题: 在蒙提霍尔游戏节目中,让你在三扇关着的门中选择,知道一扇门后边是跑车,其他俩都是山羊,自然希望选中赢的是 跑车。当你选择后告诉他,比方说 1 号,主持人知道车在什 么地方,他翻开此外一扇门,比方说 3 号,是羊在那儿。然 后问你,要不要改主意选 2 号。问:改选是不是更有利? 大多半人认为改不改都同样,因为没翻开的两扇门后边,有 车子的可能性都是 1/2。 Marilyn vos Savant 认为 1 号门的可能性是 1/3, 2 号现在有 2/3。她给人们一个直观的想象:假 如有辆车在一百万扇门中,你选了 1 号门,主持人知道车子在哪里,所以翻开门时总是防止它,结果他翻开了其余,除 777777 号之外所有的门,这时,你是不是很快改主意,选它了?【说法 1】 这个专栏写手 Marilyn vos Savant 是吉利斯记录中拥有最高智商的女人, IQ 228 。她在 Washington University in St. Louis 哲学系上了两年大学后,就退学挣钱,以便有自由来写作。 她的答案打击了大多半人们的直觉,立即收到几千封读者的 反驳, 11 月著名问题专栏作家的 Cecil Adams 也在他“ The Straight Dope ”专栏里议论这个问题,持相反见解。第二年 《纽约时报》在头版登出这个问题,并且访谈了这问题中的 节目主持人蒙提霍尔。他也不认可。 vos Savant 仍旧坚持原 来的答案。她摊上大事了,报社收到了一万多人来信, 92% 认为她错了, 65%来自傲学的信,多半是来自数学和科学的 院系,都反对她的答案,认为这只是女人的直觉,劝她修了概率课后再谈这问题。其中有一千多个署名上有博士学位。即使她重申主持人必须翻开有羊门的假定,提供了进一步证明后,仍被大多半有学问的人思疑。没有被她说服的名人包 括 Paul Erd?s【 2】,他是最多产的数学家,研究的问题包括组合数学、图论、数论、经典解析、逼近理论、会合论和概率论。 反对者的直觉是:主持人翻开了一扇门,里面是羊,这将三个选择去掉一个,一辆车子和一只羊分别在剩下两扇没翻开的门中,它们各有 1/2 的概率是车。 vos Savant 反驳说,如果一个 UFO 在主持人翻开门后降临, 看到两扇关着的门,外星人会同意这个概率  1/2  的结论,因 为她缺乏这两扇门是怎么被留下来过程的信息。 有人用贝叶斯公式推出条件概率: 假如 A 表示车子在 1 号门 的事件,车子可能在任意一扇门后, 所以它的概率 P(A)=1/3 ; 表示主持人翻开有羊门的事件,三扇门中两扇门后是羊,概率 P(H)=2/3 ;记 P(AH) 为车子在 1 号门后而且主持人翻开 了有羊门的概率;如果车子是在 1 号门,翻开是羊门的条件 概率 P(H|A)=1 ,则有 P(AH)=P(H|A)P(A)=1/3 ;那么主持人打 开有羊的门后, 1 号门后边有车子的条件概率 P(A|H)= P(AH)/P(H)= (1/3)/( 2/3)=1/2 ,这和大家的直观见解同样, 这时没翻开的那扇门( 2 号)有车的概率也就是 1/2,所以换不换都同样。人们推论:主持人翻开了有羊门的事件,减少 了对 1 号门是羊的猜测, 提高了 1 号门有车的概率, vos Savant 的论断中坚持 1 号门的概率不变是错误的。 【说法 2】 看到不能说服读者, Vos Savant 在专栏中画一个表,持续为 她概率 2/3 的结论辩白。这里假定:客人先选 1 号门,主持 人在 2 和 3 号中翻开有羊的门。

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