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x=1到底是不是方程?
最近,陆续有教师问我们: “x=1到底是不是方程?”原来,
“x=1不是方程”的观点最近颇受关注,听说某全国较有影响的杂志刊发了这一观点,某对于数学本质的讲座上也重点解说了这一观点。“x=1不是方程”的观点大概如下:“x=1是不是方程,已经困扰大家好久了,问题就出在教材上的那句话‘含有未知数的等式叫方程’,大家都把它当做方程的定义了。其实,这句话只谈了方程的表面,并没揭示方程的本质,方程的本质是“为了求未知数,在已知数和未知数之间成立的一种等式关系”。既然方程的本意是要求未知数,x=1中未知数已经求出来了,也就没有存在方程的必要了。认为x=1是方程完全是教材编写的限制性致使教师产生的认识误区。”这样的观点对吗?
解答概括:
这样的观点无疑是值得商榷的。但听说在某次大型培训时这样的观点惹起了多半受训者的共识,甚至被部分人认为“解决了大家的纷争”,听了很受益。因此,我们觉得有必要对以上观点进行质疑。
“方程的本质是‘为了求未知数,在已知数和未知数之间成立
一种等式关系’”这样的论断很难立足。“为了求未知数”,显然是列方程的目的,而非方程的本质,不能以目的代替本质。去掉这里对于目的的表述,“在已知数和未知数之间成立的一种等式关系”
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与“含有未知数的等式叫方程”所能表述的要素并无实质的区别,且远不如教材里的话科学严实。因为“在已知数和未知数之间成立的一种等式关系”其结果就是“含有未知数的等式”。教材以“等式”这一结果代替等式关系是充足考虑且切合学生的学习心理理的。对方程而言,“未知数”是重点、是不可或缺的要素,“含有未知数的等式”没有强调已知数但不清除已知数,这样的表述非但合理而且远比强调“已知数和未知数”更简短、更严实。相反,强调了“在己知数和未知数之间”则是明显的狭隘的说法,因为按照这种说法,第x+y=z没有已知数,就不算方程了。“未知数已经求出来了,就没有存在方程的必要”,这样的逻辑“说服”
了好多教师,但这样的逻辑明显是很想自然的。按照这样
的逻辑,“未知数已经求出来”的不算方程,“未知数能够看出来的”(自然也不用求了)算不算方程?如x+1=2、2x=4算不算方程?如果算方程,为什么同样是“不用求”的,有些算方程,有些又不算方程,那么什么样的才叫方程?如果不算,即对看得出来的人不算方程,那么判断一个等式是否是方程莫非要因人而异?按照
这样的逻辑,我们还可能推出此外两个可怕的结论。
第一个可怕的结论: 一些含有未知数的等式(如 x=2y)不是
方程但能够组成方程组。既然方程的本质是为了求未知数的值,已
经知道未知数值的不算方程,求不出未知数的自然也不能叫方程
了,那么近似x=2y 、x+y+1=2z等含有两个或多个未知数的等式
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独自看时就不是方程(因为求不出未知数的值),但在某些方程组里又能够当作方程(因为能够求出未知数的值)。
第二个可怕的结论:一些含有未知数的等式,有时是方程,有时不是方程。如x+1=0对于没有学习负数的学生而言,就不是方程,对于学过负数的学生而言,则又变成了方程。同样的道理,x(^2)-2=0。在有理数范围内不叫方程,在实数范围内又叫方程。可
见,按照这样的逻辑,方程家族将陷入无限的混战之中,永无宁日。很显然,这种以目的和结果论方程的观点是站不住脚的。如果近似x=1的等式不是方程的话,那么方程的同解变形就
违犯逻辑了。如果x=1不是方程,那么显然形如“未知数=详细数值”的都不是方程。尽人皆知,线性方程的求解过程实际上是同
解变形的过程,在变形的过程中其形式变得越来越简 ,但本质不变。
任何有解的方程或方程组,经过同解变形,最后一定能够化成
“未知数1=详细数值 1,未知数2=详细数值1,未知数 n=
详细
体数值n”的形式。如果一个方程(组)经过同解变形变得不是方程(组)了,这样的变形还叫恒等变形吗?
受到历史条件限制,好多小学数学教师并没有受过系统的数学专业训练,有的甚至连数学专业教育都没有接受过,其存在知识缺陷是必定的。各级各类培训除了通识培训、理念引导、课题商讨、
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教学案例剖析外,还应增加一些对详细数学知识点的商讨,提高一
线教师的专业修养,增加他们的专业功底。
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