（新高考）2021届高考数学 小题必练3 不等式.docxVIP

1．学会解不等式． 2．掌握不等式基本性质． 3．学会利用基本不等式求最值问题． 1．【2020浙江高考真题】已知，且，对于任意均有， 则（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案． 因为，所以且， 设，则的零点为，，． 当时，则，，要使，必有，且， 即，且，所以； 当时，则，，要使，必有， 综上一定有，故选C． 【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题． 2．【2019天津高考真题（理）】设，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值． ∵， ∵，，，，∴， 当且仅当，即，时成立， 故所求的最小值为． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 一、单选题． 1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，， 所以， 故； 同理，， 故． 因为， 故， 故最低费用为，故选B． 2．已知，且，，则、的大小关系是（） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】利用作差法可得出、的大小关系． 已知，且，，则， 所以，， 因此，，故选A． 3．设，，，则下列结论正确的是（） ①有最小值；②有最大值； ③有最大值；④有最小值． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解析】利用基本不等式判断即可． 由，，，则， 即，解得或（舍去）， 当且仅当时取等号，即①正确； 又，即， 解得或（舍去）， 当且仅当时取等号，即④正确， 故选B． 4．已知表示不超过的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】根据题意可得，求出集合，再讨论的取值范围，求出集合， 由集合的运算结果即可求解． 由题意可得或， ， 当时，，满足； 当时，或， 若，则，解得； 当时，或， 若，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或，故选C． 5．已知的面积为，内切圆半径也为，若的三边长分别为，，，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用等面积法可得，式子化为，利用基本不等式即可求解． 因为的面积为，内切圆半径也为， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故选C． 6．已知，，，，，，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可分析出，，符号，再用基本不等式，然后放缩可得的符号． 因为，，所以，，中两负一正， 不妨设，，，，， ，故选B． 7．设，，则（） A． B． C． D．与的大小关系与有关 【答案】A 【解析】作差，然后配方可得结论． ∵，∴，故选A． 8．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理吨垃圾，最多要处理吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为（） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】B 【解析】由题意，得到每吨的平均处理成本为， 再结合基本不等式求解，即可得到答案． 由题意，月处理成本（元）与月处理量（吨）的函数关系为， 所以平均处理成本为，其中， 又由， 当且仅当时，即时，每吨的平均处理成本最低． 故选B． 二、多选题． 9．已知，，，则的值可能是（） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由，，，得，则且． 当时， ， 当且仅当，即时取等号； 当时， ． 当且仅当，即时取等号， 综上，，故选CD． 10．若，，则下列不等关系中不一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】当，，，时，，故A错误； ∵，，由不等式的性质可知，，故B、C正确； ∵，若，则；若，则，故D错误， 故选AD． 11．若，，则下列不等式中一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对选项A，， 因为，所以，，即，所以，故A错误； 对选项B，， 因为，所以，，即， 所以，故B正确； 对选项C，因为，所以的范围为，故C错误； 对选项D，因为，所以，， 因为，所以， 又因为，所以在为增函数，所以，故D正确， 故选BD． 12．下列选项正确的有（） A．若，则有最小值 B．若，则有最大值 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A，， 因为，故，故等号不能成立，故A错误； 对于B，当时，；当时，， 当且仅当时等号成立，故的最大值为，故B正确；