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“数形结合”在初中数学中的运用 一、以数助形 “数 （代数）”与 “形 （几何）”是中学数学的两个主要研究对象， 而这两个方面是紧密联系的． 体 现在数学解题中， 包括 “以数助形”和 “以形助数”两个方面． “数”与 “形”好比数学的 “左右腿”．全 面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会 “数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充． “数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百 般好，隔离分家万事非． ”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要， “数形结 合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位． 要在解题中有效地实现“数形结合” ，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点， ，从“以数助 形”角度来看，主要有以下两个结合点： （1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将 学到用“向量”把几何问题代数化） ；（2 ）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如： 利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例 1 ． 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 两 点 A(x ，y ) 和 B(x ，y ) 之 间 的 距 离 可 以 用 公 式 1 1 2 2 2 2 AB (x x ) (y y ) 计算．利用这个公式计算原点到直线 y 2x 10 的距离． 1 2 1 2 解 ：设 P(x， 2 x 10) 是直线 y 2x 10上的任意一点，它到原点的距离是 2 2 2 OP (x 0) (2 x 10 0) 5(x 4) 20 当 x 4 时， OP 2 5 ． 最小 所以原点到直线 y 2x 10 的距离为 2 5 ． 【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是 平面几何的一大难点） ．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化． 例 2．已知 ABC 的三边长分别为 2 2 2mn 2 2 ABC m n 、 和 m n （m、n 为正整数， 且 m n ）．求 的面积（用含 m、n 的代数式表示） ． 【分析 】已知三角形三边求面积一般称为 “三斜求积” 问题，可用 “海伦公式”计算， 但运用 “海 伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式” ，这要看所给的三角形 有 没 有 特 殊 之 处 ． 代 数 运 算 比 较 过 硬 的 人 可 能 利 用 平 方 差 公 式 就 可 以 心 算 出 来 ： 2 2 2 2 2 2 2 2 ( m n ) (m n ) ( 2m ) ( n2 ) (m2n ) ABC ABC ，也就是说， 的三边满足勾股定理， 即 是一个直角三角形． “海伦公式”：三