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专题12 倍长中线问题
【规律总结】
中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程:延长某某到某点,使某某等于某某,使什么等于什么(延长的那一条),用SAS证全等(对顶角)倍长中线最重要的一点,延长中线一倍,完成SAS全等三角形模型的构造。
【典例分析】
例1.(2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是BC边上的中线,AD的取值范围是( )
A.1<AD<6 B.1<AD<4 C.2<AD<8 D.2<AD<4
【答案】B
【分析】
先延长到,且,并连接,由于,,利用易证,从而可得,在中,再利用三角形三边的关系,可得,从而易求.
【详解】
解:延长到,使,连接,则AE=2AD,
∵,,,
∴,
,
在中,,
即,
∴.
故选:.
【点睛】
此题主要考查三角形三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
例2.(2019·山东临沂市·八年级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,D为AB的中点,DC⊥BC,则点A到直线CD的距离是_____.
【答案】4
【分析】
根据垂直的定义得到∠BCD=,延长CD到H使DH=CD,由线段中点的定义得到 AD=BD ,根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4.
【详解】
∵ DC⊥BC,
∴ ∠BCD=,
∵ ∠ACB=,
∴ ∠ACD=,
如图,延长 CD 到 H 使 DH=CD ,
∵ D 为 AB 的中点,
∴ AD=BD,
在 ΔADH 与 ΔBCD 中,
,
∴ ΔADH?ΔBCD(SAS),
∴ AH=BC=4,∠AHD=∠BCD=90°,
∴点A到CD的距离为4,
故答案为:4.
【点睛】
本题考察全等三角形的判定与性质,正确作出辅助线是解题的关键.
例3.(2021·辽宁葫芦岛市·九年级期末)在与中,,,,连接,点为的中点,连接,绕着点旋转.
(1)如图1,当点落在的延长线上时,与的数量关系是:__________;
(2)如图2,当旋转到点落在的延长线上时,与是否仍有具有(1)中的数量关系,如果具有,请给予证明;如果没有,请说明理由;
(3)旋转过程中,若当时,直接写出的值.
【答案】(1);(2)具有,证明见解析;(3)14或.
【分析】
(1);当点落在的延长线上时,∠ADE=90o,点为的中点,直角三角形斜边中线的性质,再证△ACE≌△BCE(SAS)利用性质得AE=BE即可;
(2)成立(具有)延长到点,使,连接,由点为的中点,可知是的中位线,有结论,先证,再证,即可;
(3)分两种情况∠BCD再BC的左边与右边,构造Rt△ECH,∠HCE =60o或Rt△CGE,∠GCE=30o,CH=,CG=,利用勾股定理求BE2,再用(1)结论即可.
【详解】
(1)当点落在的延长线上时,∠ADE=90o,
∵点为的中点,
∴AF=EF=FD,
∴,
∵BC=AC,∠ACB=90o,CD=DE,∠CDE=90o,
∴∠DCE=∠DEC=45o,
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90o+45o=135o,
∴∠ACE=360o-∠ACB-∠BCE=360o-90o-135o =135o=∠BCE,
∵CE=CE,
∴△ACE≌△BCE(SAS),
∴AE=BE,
∴,
故答案为:;
(2)成立(具有)
证明:
延长到点,使,连接,
∵点为的中点,
∴是的中位线,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴;
(3)14或.
过E作EH⊥BC于H,
∴在Rt△ECD中,CE=2,
∵∠BCD=105o,
∴∠HCE=105o-∠DCE=60o,
∴CH=,EH=,
∵BC=,
∴BH=BC-CH=-,
∴FD2=;
延长BC,过E作EG⊥BC于G,
∵∠BCD=105o,∠DCE=45o,
∴∠GCE=180o-∠ACD-∠DCE=30o,
∴GE=,
∴CG=,
∴
∴FD2=.
综上所述,的值为或.
【点睛】
本题考查直角三角形斜边中线性质,三角形全等判定与性质,三角形的旋转变换,三角形中位线,解直角三角形,勾股定理的应用,涉及的知识多,习题难度大,关键是利用数形结合的思想画出准确的图形,画图时应注意分类来画是解题关键.
【好题演练】
一、单选题
1.(2021·全国八年级)如图,中,为的中点,点为延长线上一点,交射线于点,连接,则与的大小关系为
A. B. C. D.以上都有可能
【答案】C
【分析】
如图,延长ED到T,使得DT=DE,连接CT,TF,证明△EDB≌△TDC(SAS),
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