专题28 角平分线和高线的夹角模型问题（解析版）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练.docx

专题28 角平分线和高线的夹角模型问题 【规律总结】 【典例分析】 例1．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）中，边上的高相交于点F，的角平分线交于点G，若，则______． 【答案】110° 【分析】 根据三角形的内角和定理求出∠GBC＋∠GCB，根据角平分线的定义求出∠ABC＋∠ACB，从而求出∠A，根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE，最后利用三角形外角的性质即可求出结论． 【详解】 解：∵ ∴∠GBC＋∠GCB=180°－∠CGB=55° ∵的角平分线交于点G， ∴∠ABC=2∠GBC，∠ACB=2∠GCB ∴∠ABC＋∠ACB =2∠GBC＋2∠GCB =2（∠GBC＋∠GCB） =110° ∴∠A=180°－（∠ABC＋∠ACB）=70° ∵边上的高相交于点F， ∴∠AEC=∠FDC=90°， ∴∠ACE=180°－∠AEC－∠A=20° ∴∠FDC＋∠ACE=110° 故答案为：110°． 【点睛】 此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高的定义和角平分线的定义是解题关键． 例2．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·八年级期中）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，．求和的度数． 【答案】， 【分析】 根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°-60°-70°=50°，再由AE是角平分线，求出∠EAC=∠BAC=30°，由AD是高，求出∠CAD=90°-∠C=20°，最后即可求出∠EAD=∠EAC-∠CAD=10°；根据角平分线的性质，得∠OAB=∠BAC，∠OBA=∠ABC，所以∠BOE=∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=（180°-∠C）=×（180°-70°）=55°． 【详解】 解：∠BAC=60°，∠C=70° ∴∠ABC=180°?∠ABC?∠C=180°?60°-70°=50°， ∵AE是角平分线， ∴∠EAC=∠BAC=×60°=30°， ∵AD是高， ∴∠ADC=90°， ∴∠CAD=90°?∠C=90°?70°=20°， ∴∠DAE=∠EAC?∠CAD=30°?20°=10°； ∵AE，BF是角平分线， ∴∠OAB=∠BAC,∠OBA=∠ABC， ∴∠BOE=∠OAB+∠OBA=(∠BAC+∠ABC)=(180°?∠C)=12×(180°?70°) =55°． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 例3．（2020·山东淄博市·七年级期中）中，是的角平分线，是的高． （1）如图1，若，请说明的度数； （2）如图2（），试说明的数量关系； （3）如图3，延长到点，和的角平分线交于点，请求出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 （1）先根据三角形的内角和定理求得、，再根据角平分线的定义得到，最后根据角的和差解答即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得、，再根据角平分线的定义得到，然后根据角的和差表示出来即可； （3）先根据角平分线的定义得到，再结合三角形外角的性质得到，然后根据题意得到，最后算出∠G即可． 【详解】 解：（1） 是的高， 是的角平分线， ， ． （2） 是的高， 是的角平分线， ， 即； （3）和的角平分线交于点， ，即， 是的高， ， ． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 【好题演练】 一、填空题 1．（2020·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则__________度． 【答案】5 【分析】 先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=∠BAC，而∠DAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC进行计算即可． 【详解】 解：在△ABC中，∵∠B=50°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°，∵AE是的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=×70°=35°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°． 故答案为：5. 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键． 2．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.  【答案】66° 【分析】 过D作，D