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专题11 新定义问题(4)
【规律总结】
※知识精要
新定义型问题是学习型阅读理解题,是指题目中首先给出一个新定义(新概念或新公式),通过阅读题
目提供的材料,理解新定义,再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义
的理解与运用来考查学生的自主学习能力,便于学生养成良好的学习习惯。
※要点突破
解决此类题的关键是(1)深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的做题方法;归纳“举例”提供的分类情况;(3)依据新定义,运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
【典例分析】
例1.(2020·江西南昌市·七年级期末)对平面上任意一点(a,b),定义f,g两种变换:f(a,b)=(﹣a,b),如f(1,2)=(﹣1,2);g(a,b)=(b,a),如g(1,2)=(2,1),据此得g[f(5,﹣9)]=( )
A.(5,﹣9) B.(﹣5,﹣9) C.(﹣9,﹣5) D.(﹣9,5)
【答案】C
【分析】
根据f,g两种变换的定义自内而外进行解答即可.
【详解】
解:由题意得,f(5,﹣9)]=(﹣5,﹣9),
∴g[f(5,﹣9)]=g(﹣5,﹣9)=(﹣9,﹣5),
故选:C.
【点睛】
本题考查了新定义坐标变换,根据题意、弄懂两种变换的方法是解答本题的关键.
例2.(2019·浙江省义乌市望道中学七年级月考)对于正数规定,例如,计算__________.
【答案】
【分析】
根据规定式子可得,从而可得,由此即可得.
【详解】
因为对于正数规定,
所以,
所以,
则原式,
,
,
故答案为:.
【点睛】
本题考查了有理数加法运算的规律型问题,根据规定的运算式子,找出规律是解题关键.
例3.(2020·宁波市镇海蛟川书院九年级期中)定义:若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形,则称这个四边形为“友爱四边形”,这条对角线叫“友爱线”.
(1)如图1,在的正方形网格中,有一个网格和两个网格四边形与四边形,其中是被分割成的“友爱四边形”的是______.
(2)如图2,四边形是“友爱四边形”,对角线是“友爱线”,同时也是的角平分线,若中,,,,求友爱四边形的周长.
(3)如图3,在中,,,的面积为,点D是的平分线上一点,连接,.若四边形是被分割成的“友爱四边形”,求的长.
【答案】(1)四边形ABCE;(2)13或10;(2)2
【分析】
(1)根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长,根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”的定义判断;
(2)根据旋转变换的性质、平行线的性质、两角相等的两个三角形相似证明;
(3)AM⊥BC,根据含30°的直角三角形的特殊性质及勾股定理用AB表示出AM,根据三角形的面积公式得到BC×AB=12,根据相似三角形的性质列式计算,得到答案.
【详解】
解:(1)∵AB=2,BC=1,AD=4,
∴由勾股定理得,AC==,CD==,
AE==2,CE==5,
∴===,
∴ABC∽EAC,
∴四边形ABCE是“友爱四边形”,
∵≠,
∴ABC与ACD不相似,
∴四边形ABCD不是“友爱四边形”,
故答案为:四边形ABCE;
(2)∵AC平分∠BCD,
∴∠ACB=∠ACD,
当∠B=∠DAC时,ABC∽DAC,
则==,
∵,,,
∴==,
解得AD=,CD=,
∴友爱四边形的周长为;
当∠B=∠D时,ABC∽ADC,
则===1,
∵,,,
∴==1,
解得AD=2,CD=3,
∴友爱四边形的周长为,
综上所述,友爱四边形的周长为13或10;
(3)如图3,过点A作AM⊥BC于M,
则∠AMB=90°,
∵,
∴∠BAM=30°,
∴BM=AB,
∴在Rt△ABM中,AM=
=
=AB,
∵ABC的面积为3,
∴BC×AB=3,
∴BC×AB=12,
∵四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”,且AB≠BC,
∴ABD∽DBC
∴,
∴BD2=AB×BC=12,
∴BD==2.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角形的面积计算,掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友爱四边形”的定义是解题的关键.
【好题演练】
一、单选题
1.(2020·广东深圳市·九年级二模)定义:在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成的周长与面积相等,则这个点叫做和谐点,这个矩形叫做和谐矩形.已知点P(m,n)是抛物线y=x2+k上的和谐点,对应的和谐矩形的面积为16,则k的值可以是( )
A.﹣12 B.0 C.4 D.16
2.(2020·全国八年级专题练习)在平面直角坐
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