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专题02 笔尖型
【规律总结】
模型二“铅笔”模型
点P在EF右侧,在AB、 CD部
“铅笔”模型
结论1:若AB∥CD,则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°;
结论2:若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°,则AB∥CD.
【典例分析】
例1.(2020·广西钦州市·七年级期末)如图,已知,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
由题意过点C作CF//AB,可得CF//ED,进而利用平行线的性质进行分析计算即可.
【详解】
解:过点C作CF//AB,
∵CF//AB,,
∴CF//ED,
∴∠1+∠ACF=180°,∠FCD+∠3=180°,
∵∠2=∠FCD+∠ACF,
∴=∠1+∠ACF +∠FCD+∠3=180°+180°=360°.
故选:C.
【点睛】
本题考查平行线的性质,注意掌握两直线平行时,巧妙构造辅助线,熟练运用平行线的性质,由两直线平行的关系得到角之间的数量关系,从而达到解决问题的目的.
例2.(2020·山西临汾市·七年级期末)如图,一环湖公路的段为东西方向,经过四次拐弯后,又变成了东西方向的段,则的度数是______.
【答案】540°
【分析】
分别过点C,D作AB的平行线CG,DH,进而利用同旁内角互补可得∠B+∠BCD+∠CDE+∠E的大小.
【详解】
解:如图,根据题意可知:AB∥EF,
分别过点C,D作AB的平行线CG,DH,
所以AB∥CG∥DH∥EF,
则∠B+∠BCG=180°,∠GCD+∠HDC=180°,∠HDE+∠DEF=180°,
∴∠B+∠BCG+∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠DEF=180°×3=540°,
∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=540°.
故答案为:540°.
【点睛】
考查了平行线的性质,解题的关键是作辅助线,利用平行线的性质计算角的大小.
例3.(2020·河北邢台市·八年级月考)如图1,四边形为一张长方形纸片.
(1)如图2,将长方形纸片剪两刀,剪出三个角(),则__________°.
(2)如图3,将长方形纸片剪三刀,剪出四个角(),则__________°.
(3)如图4,将长方形纸片剪四刀,剪出五个角(),则___________°.
(4)根据前面探索出的规律,将本题按照上述剪法剪刀,剪出个角,那么这个角的和是____________°.
【答案】(1)360;(2)540;(3)720;(4).
【分析】
(1)过点E作EH∥AB,再根据两直线平行,同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍;(2)分别过E、F分别作AB的平行线,根据两直线平行,同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍;(3)分别过E、F、G分别作AB的平行线,根据两直线平行,同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍;(4)根据前三问个的剪法,剪n刀,剪出n+1个角,那么这n+1个角的和是180n度.
【详解】
(1)过E作EH∥AB(如图②).∵原四边形是长方形,∴AB∥CD,又∵EH∥AB,∴CD∥EH(平行于同一条直线的两条直线互相平行).∵EH∥AB,∴∠A+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵CD∥EH,∴∠2+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°,又∵∠1+∠2=∠AEC,∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°;(2)分别过E、F分别作AB的平行线,如图③所示,用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°;(3)分别过E、F、G分别作AB的平行线,如图④所示,用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°;(4)由此可得一般规律:剪n刀,剪出n+1个角,那么这n+1个角的和是180n度.故答案为:(1)360;(2)540;(3)720;(4)180n.
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和,作平行线并利用两直线平行,同旁内角互补是解本题的关键,总结规律求解是本题的难点.
【好题演练】
一、单选题
1.(2020·重庆南开中学七年级期末)如图,直线,在中,,点落在直线上,与直线交于点,若,则的度数为( ).
A.30° B.40° C.50° D.65°
【答案】B
【分析】
由题意过点B作直线,利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案.
【详解】
解:如图,过点B作直线,
∵直线m//n,,
∴,
∴∠2+∠3=180°,
∵∠2=130°,
∴∠3=50°,
∵∠B=90°,
∴∠4=90°-50°=40°,
∵,
∴∠1=∠4=40°.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质定理和判定定理,熟练掌握两直线平行,平面内其外一条直线
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