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(完整版)高数中的重要定理与公式及其证明(一) 高数中的重要定理与公式及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。1）常用的极限0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1 lim(1)xx x e →+=与0sin lim1x xx →=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。 证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限10lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x→+=。 01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0lim11t t te →=-。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01lim1x x e x→-=。01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011limln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。因此有01lim ln x x a a x→-=。 0(1)1lim a x x a x→+-=：利用对数恒等式得 ln(1)ln(1)ln(1)00000(1)111ln(1)1ln(1)lim lim lim lim lim ln(1)ln(1)a a x a x a x x x x x x x e e x e x a a a x x a x x a x x+++→→→→→+---+-+====++上式中同时用到了第一个和第二个极限。201cos 1lim 2x x x →-=：利用倍角公式得22220002sin sin 1cos 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→?? ?-=== ? ???。2）导数与微分的四则运算法则22(), d()(), d()(), d()(0)u v u v u v du dv uv u v uv uv vdu udv u vu uv u vdu udv v v v v v±=±±=±=+=+--==≠【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3）链式法则设(),()y f u u x ?==，如果()x ?在x 处可导，且()f u 在对应的()u x ?=处可导，则复合函数(())y f x ?=在x 处可导可导，且有：[](())()()dy dy du f x f u x dx du dx??==或【点评】：同上。 4）反函数求导法则设函数()y f x =在点x 的某领域内连续，在点0x 处可导且()0f x ≠，并令其反函数为()x g y =，且0x 所对应的y 的值为0y ，则有：000111()()(())dx g y dyf x fg y dy dx===或 【点评】：同上。5）常见函数的导数()1x x ααα-=，()sin cos x x =，()cos sin x x =-， ()1ln x x =，()1log ln a x x a=， ()x x e e =，()ln x x a e a =【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定