第十一章无穷级数第1-4节.ppt

例7. 求幂级数 的收敛半径及收敛区间. 解：将原级数改写成 考虑 的收敛域. 故 r1= 3, x2 = | t | 3 时发散 即 x2 = | t | 3 时收敛 故原级数的收敛半径为 在端点处, 故收敛区间为 例8. 求幂级数 的收敛区间. 解：令 t = (x?1), 考虑 即 |x ?1|2, ?1 x 3原级数收敛 |x ?1|2时, 原级数发散 在端点处, x = ?1, x = 3, 故收敛区间为[?1, 3) 3. 幂级数的性质 (1) 加减法 设 (2) 乘法 b0 b1 b2 ? bn ? a0 a1 a2 an a0b0 a1b0 a2b0 an b0 ? a0b1 a1b1 ? an–1b1 ? a0b2 ? ? ? a0bn a1bn?1 anbn ? ? ? ? ? (3) 除法 (b0?0) c0, c1, c2, ?, cn由下式确定 即 ? 注：(1)两幂级数加减乘之后所得幂级数收敛半径 r ? r = min(r1, r2) 例如 (2) 除法所所得收敛半径不定 如 解析性质： 性质1(和函数连续性) 设幂级数 的收敛半径为 r, 和函数为S ( x ), 则 S (x) 在区间 (?r, r) 内连续, 若在端点处收敛,则在端点处左(右)连续. 性质2(微分性质) 设幂级数 半径为 r, 和函数为S ( x ),则 S (x) 在区间 (?r, r) 内可导, 且 的收敛 性质3(积分性质), 待讲积分后讲. 例9. 求幂级数 的和函数. 解：r = 1, 收敛区间(?1, 1) 因 两边求导 x?(?1, 1) x?(?1, 1) 例10. 求和 且 故 解： 由 三、函数展开成幂级数 1. 复习泰勒公式 其中 ? 位于x0与x之间 或Rn(x)=o((x?x0)n) 条件：f (x)在U(x0) 具有直到 n+1 阶的导数. 2. 函数展开成幂级数 已知幂级数在收敛域内有和函数S(x), 从另一方面考虑, 对于给定的函数f (x),是否存在x0的某一邻域U(x0), 及幂级数 使得下式成立呢？ 如果可以, 我们称 f (x)在 x0处可展开为幂级数, 上式右端称为 f (x)在 x0 的幂级数展开式。 要解决下面两个问题： (1) f (x)满足什么条件才能展开为幂级数？ (2) 展开式是否唯一的？展开式中系数如何？ 对于第二个问题,我们有 定理4. 若 f (x)在 x0 处能展开成幂级数, 则 f (x)在x0的某邻域 U(x0) 具有任意阶导数,则展开式中的系数 证明：设 两边求导(为什么可求导？) ? ? 代入 x = x0 得 f (x0) = a0 f (x0) = a1 f (x0) = 2!a2 ? f (n)(x0) = n!an 故 即 ( * ) 且展开式是唯一的(为什么？) ( * )式称为 f (x)在 x0 的泰勒级数, 其系数称为泰勒系数. 当x0 = 0时,称为马克劳林级数: (* * ) 第一个问题的答案由下面定理给出 定理5. 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域 U(x0) 内具有任意阶导数, 则 f (x) 在 U(x0) 内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f (x)在 U(x0) 内的泰勒公式中的余项 Rn(x)?0 (n??) * * 第十一章 无穷级数 第三节 幂级数 一、函数项级数 定义1. 设un(x),(n=1, 2, 3, ?)是定义在某区间 I 上的函数序列,则称表达式. 为定义在区间I上的函数项级数. 例1. 为定义在(–1, +1)上的幂级数. 例2. 为定义在(–?, + ?)上的三角级数. 收敛域(收敛范围)：取 为常数 项级数. 的 收敛点； 发散点. 收敛域； 若 全体收敛点的集合称为 函数项级数的部分和： 函数项级数的和函数： 函数项级数的余项： 例1中, 和函数为 收敛域为 (?1, 1), (因 | x |≥1时级数发散) 余项为 例2中,从绝对收敛判别法可知, 二、幂级数及其收敛性 1. 幂级数的收敛区间 若 un (x)=an(x?x0)n, 则称级数 (1) 为x0点的幂级数. 特别, x0 = 0 (2) 称为x的幂级数. 对于幂级数,要解决两个问题： (1) 如何求出它的收敛域？ (2) 如何求出收敛域内的和函数？ 例3. 设幂级数为 求出其收敛域. 解： 由达朗贝尔判别法知, 当