第十一章无穷级数第1-3节.ppt

证 记 ? 0 ? un ?vn (n=1, 2, …) ? 0 ? Sn ?Gn 例11. 判断级数 的敛散性. (0x3?) 解：由于 又 由等比级数的敛散性， 故 原级数收敛. 例12. 讨论P一级数 (p0)的敛散性. 解：当p＝1时，P一级数为调和级数 它是发散的. 当0p1时，有 由比较判别法，P一级 数此时是发散的. 当p1, 按1, 2, 22, 23, …, 2n, …项对P一级数加括号，不影响其敛散性： 而 …………………………………… 于是，P一级数加括号后生成的级数的每一项均 小于以 为公比的等比级数的相应项， 故此时P一级数收敛. 综上所述，当p1, P一级数收敛；当p?1时，P一级数发散. 4. 比较判别法的极限形式 或从某一项N开始). 若 (1) 0?+?时， (2) ?=0时， (3) ?=+?时， 证(1) 由于 (0?+?) 故 ??0, ?N0, 当nN时， 不妨取 运用比较判别法可知，当0?+?时， 具有相同的敛散性. 证(2) 由于 (?=0) 取?=1时，?N 0, 当n N时， 故由经比较判别法，当?=0时， 证(3) 由于 (?= ??)，故 ?M 0 (不妨取M 1) , ?N 0, 当n N 时， 即 0 ? vn un , 由比较判别法，当?= ??时， 例13. 判别级数 的敛散性 (a0为常数) 解：因为 (即?=1为常数) 又 是调和级数，它是发散的，故原级数 发散. 例14. 判别级数 的敛散性，其中, x0为常数. 解：由于 而 是n=2的P一级数，它是收敛的，故原级数 5. 达朗贝尔比值判别法 设 为正项级数，极限 (1) ? 1时，级数收敛； (2) ? 1 (包括?= ??)时，级数发散； (3) ? = 1 时，不能由此断定级数的敛散性. 例15. 判别级数 的敛散性，其中，x0为常数. 解：记 即 ?=01，故该级数收敛. 例16. 判别级数 的敛散性，其中，x?0为常数. 解：记 即 ?=x2, 由达朗贝尔判别法. 当0|x|1时，?1, 级数收敛. 当|x|1时，?1, 级数发散. 当 | x |=1 时，?=1, 但原级数紧时为 这是 n = 2 的 P 一级数，是收敛的. 综上所述，当 0 | x | ? 1 时，原级数收敛，当 | x | 1 时，原级数发散. 6. 柯西根值判别法 设 为正项级数，极限 (1) ?1时, 级数收敛； (2) ?1 (包括?= ??)时，级数发散； (3) ?=1时，不能由此断定级数的敛散性. 例17. 判别级数 的敛散性，其中, x 0 为常数. 解：记 即 ?= 0 1 , 故该级数收敛. * §11-1 常数项级数的概念和性质 一、无穷级数的概念 1. 无穷级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示 为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级数的一般项或通项. 若级数 的每一个项un均为常数，则称该 级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个 变量的函数un = un(x), 则称级数 为函数项 级数. 例1. 下列各式均为常数项级数 例2. 下列各式均为函数项级数 2. 级数的敛散性定义 无穷级数 的前n项之和： 称为级数的部分和. 若 存在，则称级数 收敛， S称为级数的和： 若 不存在(包括为?)，则称级数 发散. 例3. 讨论等比级数 的敛散性. 解：等比级数的部分和为： 当公比 | r |1时， 即 当公比 | r |1时， 当公比 r =1时， 当公比 r = ?1时，Sn= a, n为奇数 0, n为偶数 , 故 不存在. 综上所述，当公比| r |1时, 等比级数收敛；当公比| r |?1时，等比级数发散. 例4. 讨论级数 的敛散性. 解：? 而 故 ，即该级数收敛. 3. 收敛级数的余项 收敛级数 称为收敛级数的余项，记为 的和S与其部分和Sn的差S?Sn 显然 二、级数收敛的必要条件 定理：若级数 收敛，则必有 证 设 例5. 判别 的敛散性. 解：由于 故 该级数发散. 例6. 证明调和级数 是发散的. 证 调和级数的部分和有： 由数学归纳法，得 k=0, 1, 2, ? 而 故 不存在，即调和级数发散. 三、无穷级数的基本性质 1. 性质1 若c?0为常数，则 有相同的敛散性， 且 证 的部分和为 的部分和为 故 从而 同时收敛或同时发散. 2. 性质2 若 其和分别为S1和S2，则级 数 且 证 的部分和为： 故 即 级数 收敛，且 例7. 因为等比级数 所以级数 例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个