2016年北京大学博雅计划数学试题附参考答案.docVIP

2016 年北京大学博雅计划数学试题 选择题（单选题，选对得 5 分，选错扣 1 分，不选不得分） 1．直线 y x 2 与曲线 y ex a 相切，则 a 的值为 A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ．前三个答案都不对 2．已知 ABC 的三边长分别为 a 、 b 、 c ，则下面 4 个结论中正确的个数为 （ 1）以 a 、 b 、 c 为边长的三角形一定存在； （ 2）以 a 2 、 b2 、 c2 为边长的三角形一定存在； （ 3）以 a b 、 b c 、 a c 为边长的三角形一定存在； 2 2 2 （ 4）以 a b 1 、 b c 1 、 c a 1 为边长的三角形一定存在； A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．前三个答案都不对 3 是圆 O 的两条垂直直径，弦 DF 交 AB 于点 E ， DE 24, EF 18 ，则 ．设 AB 、 CD OE 等于 A ． 4 6 B ． 5 3 C ． 6 2 D ．前三个答案都不对 1 若 为有理数 q 与 互质； 1 4．函数 f (x) , x , p q ，则满足 x 0,1 且 f (x) p p 的 x 的 ，若 为无理数 7 0 x 个数为 A ． 12 B ． 13 C ． 14 D ．前三个答案都不对 5．若方程 x2 3x 1 0的根也是方程 x 4 ax 2 bx c 0 的根，则 a b 2c 的值为 A ． 13 B ． 9 C ． 5 D ．前三个答案都不对 6 1 ，则等比数列 a log2 k , a log 4 k, a log 8 k 的公比为 ．已知 k A ． 1 1 C 1 D ．前三个答案都不对 2 B ． ． 3 4 word 文档 可自由复制编辑 7． cos cos 2 cos 10 的值为 11 11 11 A ． 1 B ． 1 C ． 1 D ．前三个答案都不对 16 32 64 8．设 a 、 b 、 c 为实数， a 、 c 0 ，方程 ax 2 bx c 0 的两个虚数根为 z 、 z ，满 1 2 z12 2015 z1 k 足 为实数，则 等于 z2 z2 k 0 A ． 1 B ． 0 C ． 3i D ．前三个答案都不对 9．将 12 个不同物体分为 3 堆，每堆 4 个，则不同的分法种类为 A ． 34650 B ． 5940 C ． 495 D ．前三个答案都不对 10．设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点， D 、 E 是线段 BC 上的点， F 是 BC 延长线上 的点，已知 BF 4, BD 2, BE 5, BAD ACD , BAF CAE ，则 BC 的长为 A ． 11 B ． 12 C ． 13 D ．前三个答案都不对 11．两个圆内切于 K ，大圆的弦 AB 与小圆切于 L ，已知 AK : BK 2 : 5, AL 10, 则 BL 的长为 A ． 24 B ． 25 C ． 26 D ．前三个答案都不对 12．f (x) 是一个定义在实数 R 上的函数，满足 2 f ( x) f (x 2 1) 1, x R ，则 f 2 等于 A ． 0 B ． 1 C ． 1 D ．前三个答案都不对 2 3 13．从一个正九边形的个 9 个顶点中选 3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法 数是 A ． 30 B ． 36 C ． 42 D ．前三个答案都不对 14．已知正整数 a 、 b 、 c 、 d 满足 ab cd ，则 a b c d 有可能等于 A ． 101 B ． 301 C ． 401 D ．前三个答案都不对 15．三个不同的实数 x, y, z 满足 x3 3x2 y3 3 y 2 z3 3z2 ，则 x y z word 文档 可自由复制编辑 A ． 1 B ． 0 C ． 1 D ．前三个答案都不对 16．已知 a b c 1，则 4a 1 4b 1 4c 1 的最大值与最小值的乘积属于区 间 A ． 10,11 B ． 11,12 C ． 12,13 D ．前三个答案都不对 17．在圆内接四边形 ABCD 中， BD 6, ABD CBD 300 ，则四边形 ABCD 的面 积等于 A ． 8 3 B ． 9 3 C ． 12 3 D ．前三个答案都不对 18． 1! 2! 3! 2016!除以 100 所得余数为 A ． 3 B ． 13 C ． 27 D ．前三个答案都不对 x y 2 z3 ; 19．方程组 x2 y 3 z4 ; 的实数解组数为 x3 y 4 z5 . A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ．前三个答案都不对 x3 3 x 3