第三章MATLAB矩阵分析与处理.ppt

第3章 MATLAB矩阵分析与处理 3.1 特殊矩阵 3.2 矩阵结构变换 3.3 矩阵求逆与线性方程组求解 3.4 矩阵求值 3.5 矩阵的特征值与特征向量 3.6 矩阵的超越函数 3.1 特殊矩阵 3.1.1 通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。eye：产生单位矩阵。rand：产生0～1间均匀分布的随机矩阵。randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。 3.2 矩阵结构调整变换 3.2.1 对角阵与三角阵1．对角阵只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。 3.3 矩阵求逆与线性方程组求解 3.3.1 矩阵的逆与伪逆对于方阵A，如果：A·B=B·A=I (I为单位矩阵)则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。在MATLAB中，求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。 3.3.2 用矩阵求逆方法求解线性方程组 在线性方程组Ax=b两边各左乘A-1，有 A-1Ax=A-1b 由于A-1A=I，故得 x=A-1b 3.4 矩阵求值 3.4.1 方阵的行列式在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。 3.5 矩阵的特征值与特征向量 在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有3种：(1) E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。(2) [V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。 3.6 矩阵的超越函数 1．矩阵平方根sqrtmsqrtm(A)计算矩阵A的平方根。2．矩阵对数logmlogm(A)计算矩阵A的自然对数。 2．矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。 在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。 3.4.3 向量和矩阵的范数矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。 1．向量的3种常用范数及其计算函数在MATLAB中，求向量范数的函数为：(1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。(2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。(3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。 2．矩阵的范数及其计算函数MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。 3.4.4 矩阵的条件数在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：(1) cond(A,1) 计算A的1—范数下的条件数。(2) cond(A)或cond(A,2) 计算A的2—范数数下的条件数。(3) cond(A,inf) 计算A的 ∞—范数下的条件数。 * 例3.1 分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的零矩阵。(1) 建立一个3×3零矩阵。zeros(3) (2) 建立一个3×2零矩阵。zeros(3,2) (3) 设A为2×3矩阵，则可以用zeros(size(A))建立一个与矩阵A同样大小零矩阵。A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个2×3阶矩阵Azeros(size(A)) %产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵 例3.2 建立随机矩阵：(1) 在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。(2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵。 3.1.2 用于专门学科的特殊矩阵 (1) 魔方矩阵魔方矩阵每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成。 MATLAB求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。 例3.3 将101~125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。M=100+magic(5) (2) 范得蒙矩阵范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。 在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。 例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩阵。 (3) 希尔伯特矩阵