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图像变换技术 图像变换——图像转换到另一种空间处理 图像处理和分析的数学基础 第三章　图像变换技术 3.1　傅里叶变换 3.2　傅里叶变换的性质 3.3* 快速傅里叶变换 3.4　沃尔什变换 3.5　哈达玛变换 3.6　离散余弦变换 3.7* 小波变换 3.8* 霍特林变换 3.1　傅里叶变换 变换域处理 1-D傅里叶变换 f (x) ? {f (0)，f (1)，f (2)，…，f (N – 1)} u-- Frequency variable 频谱 　 相位角 　 功率谱 　 2-D傅里叶变换 频谱 　 相位角 　 功率谱 3.2　傅里叶变换的性质 分离性 平移性 图像平移不影响频谱 |F(u,v)exp[j2?(ux0+vy0)/N]|=|F(u,v)| 　 频移性 f(x,y)exp[j2?(u0x+v0y)/N]?F(u-u0，v-v0) 当u0=v0=N/2时，　 exp[j2?(u0x+v0y)/N]=(-1)x+y， 则 f(x,y) (-1)x+y ?F(u-N/2，v-N/2) 频谱原点移到中心 正向Fourier变换前需要进行数据处理 　 周期性和共扼对称性 旋转性质 x=rcos?, y=rsin?, u=wcos?, v=wsin?. 对连续、离散均成立 分配律（线性性） 尺度变换 平均值 Laplacian变换 　 卷积定理 Rayleigh’s Theorem Define energy=?(-?,+?) |f(t)|2dt then ?(-?,+?) |f(t)|2dt=?(-?,+?) |F(s)|2ds Power: ?(-?,+?) f(x)g*(x)dx=?(-?,+?) F(s)G(s)ds 离散卷积 2-D卷积 3.3*　快速傅里叶变换 算法原理 2-D ? 2次1-D 傅里叶变换：乘法N次，加法N-1次 重复使用exp[–j2?ux/N] 快速傅里叶变换： 乘法N log2N次 加法(N-1) log2 (N-1)次 逐次加倍算法 运算量分析 逐次加倍FFT来源：两点变换由两个一点变换算出，四点变换由两个两点变换算出，对于N等于2的整数幂都成立 利用蝶形图构成的8点DFT的流程图 描述倒位序的树状图 同址计算，输出正常次序，输入倒位序，序数的二进制码 偶数取样在上半部，奇数取样在下半部 不断将离散付立叶变换分解成较小的离散付立叶变换造成序列x(n)倒位序 (n2n1n0)--(n0n1n2) x0(000)=x(000), x0(001)=x(100) x0(010)=x(010), x0(011)=x(110) x0(100)=x(001), x0(101)=x(101) x0(110)=x(011), x0(111)=x(111) 线性变换 g(x,u)称为正变换核 h(x,u)称为反变换核 If g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2(y,v), 则核可分离; If g1=g2, 则核加法对称 分离性 所有具有可分离核的二维变换与离散Fourier变换一样，可以分成两个一维变换分步进行 沿着f(x,y)的每一行作一维变换，得到 沿着T(x,v)的每一列作一维变换，得到 图像变换的矩阵表示 设f为数字图像f(x,y)的灰度值方阵，大小为N?N，显然f是实数矩阵。实数矩阵总可以经过一系列初等变换，找到它的同型矩阵F，使 F=PfQ 式中F、f是N?N方阵， P、Q是N?N的满秩方阵，且P、Q不唯一 由于P、Q满秩，它们有逆矩阵P-1、Q-1，分别用P-1左乘，右乘Q-1上式，得： f=P-1FQ-1 图像变换的矩阵表达式与代数表达式本质相同 如果g(x,y,u,v)可分离，则有T=AFAT； 设FN*N为图像， AN*N为变换矩阵，其中aij=g1(i,j)，TN*N为结果，如果 A=AT，T=AFA 则存在反变换矩阵B，BTB=BAFAB， 数字图像可以从它的变换中完整地恢复 变换矩阵可分解成稀疏矩阵的乘积形式，由此构造快速算法--分解方法 正交变换的本质 数字图像表示成矩阵的形式时，可以将图像变换看作若干个图像的加权和。如果将P、Q用列矢量表示 3.4　沃尔什变换 可分离变换：Walsh函数系是完备正交函数系，只取两种值，在归一化条件下只取+1、-1 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核 Walsh编码的离散形式 当N=2n时，正、反向变换的核为 x,u=0,1,…,N-1,N=2n bk(x)表示x的二进制码的第k位值 1-D沃尔什变换 正变换和正向变换核 反变换和反向变换核 2-D