第5章线性方程组的求解.ppt

5.1 消去法 一、Gauss消去法 思路：首先将A 化为上三角阵，再回代求解 。 Gauss消去法的一般步骤如下： 二、追赶法 将Gauss消去法应用于三对角方程组即得到所谓的“追赶法”。追赶法的具体操作过程为： 追： 赶： 5.2 矩阵分解法 一、LU分解 LU分解的一般计算公式为： 根据上述公式可以编写实现LU分解的程序，具体的内容读者可以参看书本，另外MATLAB中还提供了LU分解的函数lu()，该函数的调用格式为： [L,U] = lu(A) % 格式1 [L,U,P] = lu(A) % 格式2 其中，格式1中的输入参数与输出参数满足关系式A=L*U（L为单位下三角阵，U为上三角阵），格式2中的P为单位矩阵的行变换矩阵（因为MATLAB提供的lu()函数使用了部分选主元算法），这里的输入参数和输出参数满足关系式L*U?=?P*A。 二、Cholesky分解 Cholesky分解的一般计算公式为： MATLAB中提供了函数chol()实现对称矩阵的Cholesky分解，该函数的调用格式为： R = chol(A) % 格式1 L = chol(A,lower) % 格式2 [R,p] = chol(A) % 格式3 [L,p] = chol(A,lower) % 格式4 其中格式1和格式2要求矩阵A正定，否则使用时会出错，这时需要使用格式3或格式4，上三角阵R满足R*R=A，下三角阵L满足L*L=A，参数p表示子矩阵A(1:p-1,1;p-1)是正定的，即R*R= A(1:p-1,1;p-1)或L*L= A(1:p-1,1;p-1)。 范数的MATLAB函数求解 MATLAB中提供了函数norm()计算向量或矩阵的范数，其一般使用格式为： n = norm(A) n = norm(A,p) 其中，A为向量或矩阵，当A为向量时，p可以为任意实数或inf，表示求取向量A的p-范数；当A为矩阵时，p的取值限定于1，2，inf和fro。 三、矩阵的条件数 MATLAB提供了函数cond()和rcond()来计算矩阵的条件数，它们的调用格式为： c = cond(A,p) % 格式1 c = rcond(A) % 格式2 其中格式1是一般情况下的条件数求解。格式2是条件数指标函数，其返回值在0~1之间，当矩阵A为正交阵时，返回值为1，当返回值接近于0（大约10-15）时，表明矩阵A非常病态；p用来指定使用范数的类型，其取值可以为1，2，inf和fro，默认值为2。 对于病态方程组，通常的方法无法得到它的准确值，需要采用一些特殊的处理方法，奇异值分解方法就是其中的一种。 奇异值分解简称SVD。即存在正交阵U，V和对角阵S，使得 5.4 线性方程组的MATLAB函数求解 MATLAB提供的求解恰定方程组的指令主要有以下几个： ①逆矩阵法：x=inv(A)*b（或x=A^(-1)*b） ②伪逆法：x=pinv(A)*b ③左除法：x=A\b ④符号矩阵：x=sym(A)\sym(b) 说明：①通常情况下，利用逆矩阵法和左除法求得的均是数值解，若要得到其解析解，则须将数值矩阵转化为符号矩阵；②左除法比逆矩阵法具有更好的数值稳定性、更快的运算速度，而且左除法还适合A不是方阵的情形；③当矩阵A为奇异或接近奇异时，逆矩阵法和左除法可能得出错误的结果，这时需考虑其他的方法求解。 * 第5章 线性方程组的求解 5.1 消去法 5.2 矩阵分解法 5.3 方程组的性态与误差分析 5.4 线性方程组的MATLAB函数求解 5.5 线性方程组的迭代解法 5.6 实例解析 本章目标：求解 = 其中 上述分解方法称为Cholesky分解法。这时，线性方程组即可以改写为 一、向量范数 定义 　　　Rn空间的向量范数 || · || 对任意 满足下列条件： （正定性) 对任意 (齐次性) （三角不等式) 常用向量范数： ? = = n i i x x 1 1 | | || || v ? = = n i i x x 1 2 2 | | || || v p n i p i p x x / 1 1 | | || || = ? = v | | max || || 1 i n i x x ? ? ? = v 注： 5.3 方程组的性态与误差分析 二、矩阵范数 定义 　　　Rm?n空间的矩阵范数 || · || 对任意 满足： （正定性) 对任意 (齐次性) （三角不等式) (4)* || AB || ? || A || · || B || （相容性 当 m = n 时) 常用矩阵范数： Frobeni