最新分平面的递推计数(六年级).docx

知识图谱 计数第01讲一分平面的递推计数-一、分平面的递推计数直线或角分平面封闭图形分平面组合图形分平面 一：分平面的递推计数 知识精讲 分平面（无边界）问题的总体思路是增量分析，即先求出新画图形与已有图 形的交点数，进而推出它使平面增加了几部分?其中，求交点数是最关键的一 步?为了使平面被划分成的部分尽量多，显然应让交点也尽量多. ?直线或角分平面 1直线：第 条直线与前n条直线 最多有n个交点，被截为 段，可使平面 增加 部分. Zl 2?角：第个角与前n 2?角：第 个交点，被截为 段（拐弯处视为一段） 可使平面增加 部分. 二?封闭图形分平面 n即为n1. n即为n 2?圆：任意两个不同的圆最多有 2个交点. 三?组合图形分平面 1?封闭图形间的组合：与单种封闭图形分平面类似，建议先画圆. 16； 16； 解析: 16； 16； 解析: 2.直线与封闭图形间的组合：建议先画直线. 三点剖析 重难点：本类型题目的关键是不同图形之间交点数的求法.此外，对于组合图形分平面，若最后画直线，容易多算一部分.因此，建议 先画直线. 题模精讲 题模一直线或角分平面 例 i.i.i、 5条直线最多把平面划分为多少部分？ n条直线呢? 答案: 部分；2条 部分；2条 直线，直线间增加1个交点，把平面分成 部分；3条直线，直线间增加2个 Zl 部分；4 部分；4条直线, 直线间增加3个交点，把平面分成 部分；5条直线，直线间增加4个交点，把平面分成 部分. 第n条直线与前 条直线最多有 个交点，故其最多被分成 段使原来平面的一部分一分为二，即可增加n部分.开始时平面只有一部分, 故n条直线最多将平面分成 部分. 例 1.1.2、 用直线把一个平面分成50部分，至少要在平面上画 直线. 答案： 10 解析: 部分；2条 部分；2条 直线，直线间增加1个交点，把平面分成 部分；3条直线，直线间增加2个 Zl 交点，把平面分成 部分；4条直线, 直线间增加3个交点，把平面分成 回 部分……设n条直线把一个平面分成50部分，则有 43解析: 43 解析: 43解析: 43 解析: ，可得,即至少要在平面 ，可得 ,即至少要在平面 10条直线. 例 1.1.3、 五个角最多可以把平面分成多少部分? 答案: 显然应让交点尽量多?两个角最多把平面分成 7部分，第三个角与之前最多 1 有 个交点，被分为 8段（转角处为 一段），可使平面增加8部分?类似的，第四、五个角可使平面增加 12、16 部分?综上，五个角最多可以把平面分成 a 部分. 题模二封闭图形分平面 例 1.2.1 、 一个圆能把平面分成两个区域，两个圆最多能把平面分成四个区域， 那么四个圆 个区域.最多能把平面分成 个区域. 答案: 14 解析: 时，第 个圆与前n个圆最多有2n个交点, 使得自身被分为2n段，每段使原来的一个区域一分为二，故第 个圆最多可使平面增加 2n部分, 部分.四个圆最多能把平面分成 部分. 例 122、 如果在一个平面上画出8个三角形，最多可以把平面分成几个部分? 答案: 170 解析： 1个三角形可以把平面分成2部分; 画第2个三角形时，它与前面的三角形最多有 6个交点，这6个交点会把新 画的三角形分成6段，每一段都会使整个平面多分出一个部分，因此 2个三 I [0 I 角形可以把平面分成 个部分； 画第3个三角形，它与前面的图形有12个交点，同理可知，平面增加了 12 个部分，因此2个三角形可以把平面分成 a I 个部分；…… 第n个三角形与前面的图形有 个交 点，平面增加了 个部分, 综上，n个三角形最多把平面分成 个部分. 因此8个三角形最多可以把平面分成 个部分. 例 123、 个部分.如果在一个平面上画出4个凸五边形，最多可以把平面分成 个部分. 答案： 62 解析: 98解析: 98 解析: 增量分析?每画一个凸五边形，最多可与之前的 n个凸五边形有 个交点，可使平面增加 部分?因此，画4个凸五边形最多 个部分.可以把平面分成 个部分. 题模三组合图形分平面 例 1.3.1 、 有10条直线和2个圆，最多可以把平面分成 部分. 答案： 增量分析?先画直线，画完第1条直线后平面被分为2部 分. 时，第n条直线与之前图形最 多有 个交点，可使平面增加n部分; 个交点，可第1个圆与直线最多有 个交点，可 使平面增加20部分；第2个圆与之前的图形最多有 个交点，可使平面增加22部分.因 此，10条直线和2个圆最多可以把平面分成 部分. 例 1.3.2 、 在一个平面上画 1条直线，2个三角形和3个长方形，那么最多可把这个平面分 成多少部分? 答案： 78 解析： 依次画3个长方形、2个三角形和1条直线，通过增量分析可得最多可把这