线性代数笔记完整版.pdf

线性代数笔记 线性代数笔记 第一章 行列式1 第二章 矩阵2 第三章 向量空间3 第四章 线性方程组5 第五章 特征值与特征向量5 第一章 行列式 1.3.1　行列式的性质 　　给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为 D 的转置行列式，记为 或 。 　　性质 1 转置的行列式与原行列式相等。即 　　 (这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然) 　　性质 2 用数 k 乘行列式 D 的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。 　　推论 1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。 　　推论 2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为 0。 可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。 　　性质 3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。 　　以二阶为例 　　推论 3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。 　　性质 4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。 　　性质 5若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行 列式的和， 　　注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。 　　性质 6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式 的值不变。 　 范德蒙德行列式 例 10 范德蒙行列式…… 　　 　　 【答疑编号 　　 . =(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2) 　　 第 1 页 线性代数笔记 1.4　克拉默法则 　　　定理 1.4.1 对于 n 阶行列式 　　 　　 　 　　　定理 1.4.2 如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式=0,则方程组有惟 一的解: 　　 　　 　　 定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零 解，没有非零解。 推论　如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。 　　 第二章 矩阵 一、矩阵的运算 1、矩阵的加法 设 A= （a ） ，B= （b ） ，则 ij m×n ij m×n A+B= （a +b ） ij ij m×n 矩阵的加法适合下列运算规则： （1）交换律：A+B=B+A （2 ）结合律：（A+B ）+C=A+ （B+C ） （3 ）A+0=0+A=A 第 2 页 线性代数笔记 此处 0 表示 A 同型的零矩阵，即A= （a ） ，0=0 ij m×n m×n （4 ）矩阵 A= （a ） ，规定-A= （-a ） ，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+ （-A ）= （-A ） ij m×n ij m×n +A=0 2、矩阵的数乘 设 A= （a ） ，K 为数，则 ij m×n KA= （Ka ） ij m×n 矩阵的数乘适合下列运算规则： （1）K （A+B ）=KA+KB （2 ）（K+L ）A=KA+LA （3 ）（KL ）A=K （LA ） （4 ）1*A=A （5 ）0*A=0 （左端的零是指数 0 ，而右端的“0 ”表示一个 A 行数列数相同的零矩阵。） 3、矩阵的乘法 设 A= （a ） ，B= （b ） ，则