平面向量的一些题型.docxVIP

I 0C |=5，用 I 0C |=5，用 OA , 0B 表示 0C。 分析： 0C与0A的夹角为450, 平面向量的一些题型 、典型例题 例1、如图，OA , OB为单位向量，OA与0B夹角为1200, 以0A，0B为邻边，0C为对角线构造平行四边形 把向量0C在0A , 0B方向上进行分解，如图，设0E =入0A , 0D =卩 0B，入 0,3 0 贝y 0C =入 0A + 3 0B ??T 0A |=| 0B |=1 入=| 0E | , 3 =| 0D | △ 0EC中, / E=6(f,/ 0CE=75, |0E | ICE | | 0C | sin75°sin 600 |0C| sin 450sin 600 5(3.2 由单 sin 750 .6) 6 |0C| |CE |sin 600 sin450 5(3.2 . 6) 6 0C 5^^20a 5_ 6 3 5.6 3 %B 3 说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量, 是向量中的基本而又重要的问题， 通常 通过构造平行四边形来处理 例 2、已知△ ABC中，A (2, -1 ) , B( 3, 2) , C (-3 , -1 ), BC边上的高为 AD,求点 D 和向量AD坐标。 分析： 用解方程组思想 设 D (x, y),则 AD =(x-2 , y+1) ? BC= (-6 , -3), AD ? BC =0 ??? -6(x-2)-3(y+1)=0 ,即 2x+y-3=0 ① ? BD =(x-3 , y-2), BC // BD ? -6(y-2)=-3(x-3) ,即 x-2y+1=0 ② x 1 由①②得：x 1 y 1 二 D (1, 1), AD = (-1 , 2) 例3、求与向量a =G, 3 , -1 )和b = (1, ,3 )夹角相等，且模为、.2的向量c的坐标。 分析： 用解方程组思想 c =x+3 y法一：设 c =( x，y)，贝U a ? c = J3 x-y， b ? c =x+3 y t a , c = b , c a c b c|a||c| |b||c| a c b c |a||c| |b||c| 3x y x 3y 即 x (2 3)y ① 又 1 c|= -2 ??? x 2+y2=2 ② 3 1 .3 1 x x 2 (舍) 由①②得 2 或 亦1 ,3 1 y y 2 2 ,-3 1 .3 1 …c =( , ) 2 2 法二：从分析形的特征着手 t | a |=| b |=2 a ? b =0 ? △ AOB为等腰直角三角形, 如图 t | OC |= - 2，/ AOC2 BOC ? C为AB中点 31,31、 ? C ( , 2 2 说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。 例 4、在△ OAB的边 OAOB上分别取点 MN,使| 0M | ： | 0A |=1 : 3, | ON | : | OB |=1 4,设线段 AN与BM交于点P,记OA = a , OB = b，用 a , b表示向量OP。 分析： t B、 P、M共线 ?记 BP =s PM b a ① ? OP ——OB — OM ——OB s OA 1 s 1 s 1 s 3(1 s) 1 s 3(1 s) 同理，记AP t PN 1 t OP = a b ② 1 t 4(1 t) a, b不共线1 a, b不共线 1 由①②得 s 3(1 s)解之得: t 4(1 t) 8 2 OP a b 11 11 说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数(如 s, t )是常用技巧之一。平面向 量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于 s，t的方程。 例5、已知长方形 ABCD AB=3, BC=2 E为BC中点，P为AB上一点 利用向量知识判定点 P在什么位置时，/ PED=45; 若/ PED=45，求证：P、D、C、E四点共圆。 分析： 利用坐标系可以确定点 P位置 如图，建立平面直角坐标系 则 C (2, 0), D(2, 3), E (1 , 0) 设 p (0, y) ?- ED= (1, 3), EP= (-1 , y) ??? |ED | ,10, |EP | _y2 1 ED ? EP =3y-1 代入 cos450= ED EP | ED || EP | 1 解之得y —(舍)，或y=2 2 ???点P为靠近点A的AB三等分处 当/ PED=45时，由(1)知 P (0, 2) ? PD= (2, 1), EP= (-1 , 2) ?- EP ? PD =0 / DPE=90 又/ DCE=90 D、P、E、C四点共圆 说明：利用向量处理几何问题一