平面向量的应用.docx

向量的应用讲义 向量作为工具性知识已列入中学教材之中，其应用价值已被广大师生认可。用向量知识解题，方法新颖、运算简捷，是启迪 学生思维的有效途径之一。但向量是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一 些问题也很方便。下面就介绍这方面的应用。 1.等式证明 证明等式一般说来都要进行繁杂的运算，如果等式具有向量代数某些特征时，应用向量知识较为简单。 J _ ￡ TOC \o 1-5 \h \z 例 1.已知「一 ? ’ 「 J ■ 一，且 x，y，z，a，b，c 为非零实数，求证’ ’’ 例2.已知，J ，求证:-I ：-丨。 例3.设任意实数x, y满足|x|：：:1 , |y|：：：1，求证: 3.解有关三角问题 例4.已知： ?4 4 ” sin x cos x 1 (a 0,b 0)。 a b a b TOC \o 1-5 \h \z 2n 2n sin x cos x 证明：对于任何正整数 n都有 d - “ (a b)a b (a b) 例5、已知向量a =3x . cos ,sin 例5、已知向量a = 3x . cos ,sin 2 i‘ X cos_ ,sin 2 若f (x)=a? _2九a +b的最小值是 3 ，求■的值. 2 例6、已知△ ABC的顶点坐标为A (1，0)，B( 5, 8)，C(7,— 4),在边AB上有一点P,其横坐标为 例6、已知△ ABC的顶点坐标为 使线段PQ把△ ABC分成面积相等的两部分. 4.求解无理函数的最值 求无理函数最值问题，按常规方法求解具有一定的难度，若能用向量知识解答将会使求解变得容易。 首先我们来看几个向量的性质： 性质1若亠，则 纠耳制?|们=| pm十曲伍J才十/ - J桝2十并2 当且仅当时等式成立 性质2I I」“ _ 1 ，当且仅当a ,同向平行时右边等式成立，a,反向平行时左边等式成 立。 性质3 ?，当且仅当 方向相同且两两平行时等式成立。 (1)「?—；型(同号) 例7.求函数- ■的最大值。 例8. 求函数■ 的最大值。 (3) 匕一.「雪:宀…：型（”.） 例9. 求函数 防E+圧齐的最小值。 (4) 其它类型 例 10.设(匸 1 , 2, ,2003 )为正实数，且 +A + 1/^2002 + ^2003 + =2003 试求 尬1+心的最小值。 的最小值。例 11.已知 e b，i d^R，求 $ =嗣 +(1-疔 + +(1 - O + J宀 的最小值。 5.向量问题的坐标解法 ―—了 —了 ―弓 ——3 例 12.四边形 ABCD 中，若? ?「 「一 .，「 _ ,求一L * --■。 T — T 例13.设P为△ABC所在平面内一点，求 二亠厂E - 取最小值时P点的位置。 例14、已知同一平面上的向量 孑、WW两两所成的角相等，并且|荀=1 , |肩=2 , |三|=3，求向量 ［例15］如图所示，向量i， j ，e1， e2均为单位向量，且i丄j，e1 ±e2; 用i, j表示ei, e2； 若OP=xi +y j，且xy=1; OP=xi ei+yi 02;当8=寸，求关于xi、yi的表达式，并说明方程 表达的曲线形状； 向量的应用作业 姓名 成绩 1.求函数y = x-3 ? 0 -9x2的最大值。 2.已知a，b，c ―且：1，求证,工A 3.求函数yi，x2?X，1-\X2-X?1的值域。 4.已知x0,y0，且x+y=1，求.2x V . 2y 1的最大值 5.设a, b为不等的正数，求证(a4 b4 )(a2 b2) . (a3 b3 )2 TOC \o 1-5 \h \z 1 6.已知 x0,y0，且 x+y=1，求证：(1 )(1 ) _9 x y 7.3 已知 COS H COS — COS(：￡ 亠 I ): 7. 2 8?已知向量 a、b、c、d，及实数 x、y，且| a|=1，| b|=1，c=a +(x -3) b，d=—ya + xb，如果 a丄 b，c丄d，且| c| w 10 ? 求x、y的函数关系式y=f (x)及定义域； (供部分考生选做)判断 f (x)的单调性，指岀单调区间，并求岀函数的最大值、最小值. 9.设向量玄，W2满足〔2^=2，|言2|=1，且言1，W2的夹角为60，若向量2沱什7言2与+tW2的夹角为锐角，求实数t的 取值范围. —* f f 10. P为△ABC所在平面内一点。求证:AP * 5C+ BP 10. P为△ABC所在平面内一点。求证: 求证：(ac bd )2 - (a2 b2)(c2 d2) 12.若 a = (cosa ,i na》b = (cos P,